与小于无穷大的最大浮点数相加得到无穷大的最小数是多少？

Question

python中最大的数字应该是：

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l=2**(1023)*(2-2**(-52))\n

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1.7976931348623157e+308

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这可以通过指令验证：

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sys.float_info.max\n

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1.7976931348623157e+308

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不过请看下面的内容

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1.0000000000000000000000000001*l\n

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1.7976931348623157e+308

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现在：

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1.00006*l\n

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信息

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到底是怎么回事？对于哪个x发生 (1+ x -\xce\xb5) = 1.7976931348623157e+308 且 (1+ x ) = inf？

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更新：

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我相信在Python中触发无穷大的最大数字是

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sys.float_info.max + 0.5*epsilon和sys.float_info.max + 0.51*epsilon

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其中 epsilon = $2^{-52}$ 是计算机的 epsilon。

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看看这个：

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l = sys_float_info.max\n(1+0.5*epsilon)*l\n

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1.7976931348623157e+308

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(1+0.51*epsilon)*l\n

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信息

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Answer 1

在第一种情况下，您实际上正好乘以 1：

>>> 1.0000000000000000000000000001
1.0

二进制浮点不是所见即所得 - 它在所有阶段都会四舍五入到机器精度。

继续上面的内容：

>>> 1.0000000000000001
1.0
>>> 1.000000000000001
1.000000000000001

因此1.000000000000001，这种形式的最小文字不会精确舍入为 1.0。进而：

>>> sys.float_info.max * 1.000000000000001
inf

请注意，乘以大于 1 的最小可表示浮点就足够了，该浮点数比该文字的舍入值稍小：

>>> import math
>>> math.nextafter(1.0, 100) * sys.float_info.max
inf
>>> 1.000000000000001 > math.nextafter(1.0, 100)
True

那加法呢？

虽然示例显示了乘法，但问题的标题询问的是加法。那么我们也这样做吧。了解nextafter()和ulp()，它们是解决此类问题的正确工具。首先，找到最大有限可表示浮点数的简单计算方法：

>>> import math
>>> big = math.nextafter(math.inf, 0)
>>> big
1.7976931348623157e+308

现在设置lastbit为其最低有效位的值：

>>> lastbit = math.ulp(big)
>>> lastbit
1.99584030953472e+292

当然，如果我们添加它，big它就会溢出到无穷大。确实如此：

>>> big + lastbit
inf

然而，即使添加一半也会溢出，因为“到最接近/偶数”舍入解决了中途平局“向上”的问题：

>>> big + lastbit / 2.0
inf

更小的东西会起作用吗？不会。任何较小的值都会因“向下”四舍五入而被丢弃。这里我们尝试添加下一个最小的可表示浮点，并发现它没有效果：

>>> big + math.nextafter(lastbit / 2.0, 0)
1.7976931348623157e+308