我可以说 Monad 可以将某些类型视为同构吗？

Question

Monad可以将（与原始函数采用的Just [1,2]类型不同）传递给。length>>= return . length

Just [1,2] >>= return . length

我可以说这Monad使得使用 可以看到Maybe [a]与[a]on length同构(>>=, return)吗？（当然它们并不是真正同构的。）

这种情况我可以选择“同构”这个词吗？

Answer 1

你的例子最终说明的是这Maybe是一个函子：如果你有一些函子f :: a -> b，你可以用保留身份和组合的方式fmap将其转换为函子。Monad 是函子，与相同。在你的例子中，我们有由函子转换的函数。fmap f :: Maybe a -> Maybe b \f m -> m >>= return . ffmap f mlengthMaybe

这种情况我可以选择术语“同构”吗？

并不真地。fmapforMaybe不是同构。同构需要有一个双面逆来消除它，在这种情况下，类似于：

unFmapMaybe :: (Maybe a -> Maybe b) -> (a -> b)

-- For it to be a two-sided inverse to `fmap`, we should have:
unFmapMaybe . fmap = id
fmap . unFmapMaybe = id

但是，没有函数，因为如果输入函数给出 ，(Maybe a -> Maybe b) -> (a -> b)则无法获得结果。虽然存在同构的特定函子（这是一个例子），但一般情况并非如此。bMaybe a -> Maybe bNothingfmapIdentity

Answer 2

[a]与 with的商类型同构并且被认为是等价的。或者它与 是同构的，这只是消除了这种情况。\n \n换句话说，可以被分解为和的组合Maybe [a]NothingJust []Maybe (NonEmpty a)Just []
[a]MaybeNonEmpty。

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这样做的结果是你可以将任何函数提升NonEmpty a到一个函数上[a]：

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liftEmptyable :: (NonEmpty a -> r) -> [a] -> Maybe r\nliftEmptyable _ [] = Nothing\nliftEmptyable f (x:xs) = Just $ f (x:|xs)\n

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但不确定这实际上与你的问题有很大关系。正如 duplode 回答的那样，除了简单的函子映射之外，您实际上什么也不做。我们最多可以详细说明单子定律确保确实fmap表现得好像length直接作用于所包含的列表一样：

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Just [1,2] >>= return . length\n  \xe2\x89\xa1 return [1,2] >>= return . length  -- def. of `Monad Maybe`\n  \xe2\x89\xa1 return (length [1,2])             -- left-identity monad law\n

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