为什么所有的浮点数都可以用十进制表示？

Question

众所周知，并不是所有的十进制数都可以用二进制浮点数精确表示。

然而，似乎所有的二进制浮点数都可以用十进制表示法精确表示。

为什么没有任何浮点数不能用十进制表示，而反过来则不然呢？看起来有些不对称。

Answer 1

二进制浮点格式将数字表示为 \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa22 ^e，其中M是指定范围内的整数，e是指定范围内的整数指数。（也可以定义表示形式，其中M是定点数而不是整数。通过对边界进行适当调整，这些表示在数学上是等效的。）

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十进制数字相当于 \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa210 ^e （当然，通常对于其他一些M和e ）。例如， 3.4 相当于 +34\xe2\x80\xa210 ^{\xe2\x88\x921}。

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对于任何形式为 \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa210 ^e的十进制数字，我们可以重写它： \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa210 ^e = \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa2( 5\xe2\x80\xa22) ^e = \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa2(5 ^e \xe2\x80\xa22 ^e ) = \xc2\xb1( M \xe2\x80\xa25 ^e )\xe2\ x80\xa22 ^e。现在，如果M \xe2\x80\xa25 ^e是界限内的整数，则这是二进制浮点表示。但是，如果M \xe2\x80\xa25 ^e不是整数，如 34\xe2\x80\xa25 ^{\xe2\x88\x921}，则无法使其成为整数。该数字无法以二进制浮点格式表示。

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相反，考虑二进制浮点数 \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa22 ^e。如果e是非负数，则它是一个整数，因此它已经是十进制数字形式；^{它是 10 0}的整数倍。如果e为负数，我们可以重写它： \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa22 ^e = \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa22 ^e \xe2\x80\xa25 ^e \xe2\x80\xa25 ^{\xe2 \x88\x92 e} = \xc2\xb1 M \xe2\x80\xa210 ^e \xe2\x80\xa25 ^{\xe2\x88\x92 e} = \xc2\xb1( M \xe2\x80\xa25 ^{\xe2\x88\x92 e} )\xe2\x80 \ ^xa210 那么，由于e是负数，所以M \xe2\x80\xa25 ^{\xe2\x88\x92 e}是一个整数，所以 \xc2\xb1( M \xe2\x80\xa25 ^{\xe2\x88\x92 e} )\xe2\x80 \xa210 ^e是整数乘以 10 的幂的十进制形式。

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换句话说，我们可以将任何还不是整数的二进制浮点数乘以 10，直到得到一个整数为止。这是因为 2 是 10 的因数，因此每次乘以 10 都会抵消浮点表示中 2 的负幂之一。

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相反，给定一个非整数的十进制数字（例如 0.1），我们不能总是将其转换为整数，因为乘以 2 不会消除其中的 5 负幂。

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