SRo*_*mes 5 predicate first-order-logic alloy smt z3
我想使用 Z3 来解决最自然地用原子（符号）、集合、谓词和一阶逻辑表达的问题。例如（伪代码）：
A = {a1, a2, a3, ...} # A is a set
B = {b1, b2, b3...}
C = {c1, c2, c3...}
def p = (a:A, b:B, c:C) -> Bool # p is unspecified predicate
def q = (a:A, b:B, c:C) -> Bool
# Predicates can be defined in terms of other predicates:
def teaches = (a:A, b:B) -> there_exists c:C
such_that [ p(a, b, c) OR q(a, b, c) ]
constraint1 = forall b:B there_exists a:A
such_that teaches(a, b)
solve(constraint1)
在 Z3（或其他 SMT）中表达原子、集合、谓词、关系和一阶量词的好方法是什么？
这有标准的习语吗？必须手动完成吗？是否有一个翻译库（不一定特定于 Z3）可以转换它们？
我相信 Alloy 使用 SMT 来实现谓词逻辑和关系，但 Alloy 似乎更多是为了交互式使用而设计的，以探索模型的一致性，而不是寻找问题的具体解决方案。
在 SMTLib 中对谓词逻辑进行建模确实是可能的；尽管与 Isabelle/HOL 等常规定理证明器相比，它可能有点麻烦。并且解释结果可能需要相当多的眯眼。
话虽如此，这里是使用 SMTLib 对示例问题的直接编码：
(declare-sort A)
(declare-sort B)
(declare-sort C)
(declare-fun q (A B C) Bool)
(declare-fun p (A B C) Bool)
(assert (forall ((b B))
(exists ((a A))
(exists ((c C)) (or (p a b c) (q a b c))))))
(check-sat)
(get-model)
一些注意事项：
declare-sort创建未解释的排序。它本质上是一组非空值。（也可以是无限的，除了它不为空的事实之外，没有做出任何基数假设。）对于您的具体问题，这种类型实际上是什么并不重要，因为您没有使用它的任何直接元素。如果这样做，您可能还想尝试“声明”排序，即数据类型声明。这可以是一个枚举，或者更复杂的东西；取决于问题。对于当前提出的问题，未解释的排序就可以了。
declare-fun告诉求解器有一个具有该名称和签名的未解释函数。但除此之外，它既不定义它，也不以任何方式限制它。您可以添加有关它们的“公理”，以更具体地说明它们的行为方式。
正如您在您的编码方式中看到的forall那样，支持量词。请注意，SMTLib 不太适合代码重用，通常在更高级别的绑定中进行编程。（提供了来自 C/C++/Java/Python/Scala/O'Caml/Haskell 等的绑定，具有类似但不同程度的支持和功能。）否则，它应该易于阅读。existsconstraint1
我们最后发出check-sat和get-model，要求求解器创建一个满足所有断言约束的宇宙。如果是这样，它将打印sat并有一个模型。unsat否则，如果不存在这样的宇宙，它将打印；或者如果它无法决定，它也可以打印unknown（或永远循环！）。SMT 求解器很难处理量词的使用，而大量使用量词无疑会导致问题的unknown答案。这是一阶谓词演算的半可判定性的固有限制。
当我通过 z3 运行此规范时，我得到：
sat
(
;; universe for A:
;; A!val!1 A!val!0
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun A!val!1 () A)
(declare-fun A!val!0 () A)
;; cardinality constraint:
(forall ((x A)) (or (= x A!val!1) (= x A!val!0)))
;; -----------
;; universe for B:
;; B!val!0
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun B!val!0 () B)
;; cardinality constraint:
(forall ((x B)) (= x B!val!0))
;; -----------
;; universe for C:
;; C!val!0 C!val!1
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun C!val!0 () C)
(declare-fun C!val!1 () C)
;; cardinality constraint:
(forall ((x C)) (or (= x C!val!0) (= x C!val!1)))
;; -----------
(define-fun q ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
(and (= x!0 A!val!0) (= x!2 C!val!0)))
(define-fun p ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
false)
)
这需要眯起眼睛才能完全理解。A第一组值告诉您求解器如何为未解释的排序、B和构建模型C；具有见证元素和基数约束。尽管它确实包含有用的信息，但大多数情况下您可以忽略这部分。例如，它告诉我们是一个包含两个元素（名为和）A的集合，所以 是，并且只有一个元素。根据您的限制，您将获得不同的元素集。A!val!0A!val!1CB
对于p，我们看到：
(define-fun p ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
false)
这意味着p始终是False；即，无论传递给它的参数是什么，它都是空集。
因为q我们得到：
(define-fun q ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
(and (= x!0 A!val!0) (= x!2 C!val!0)))
让我们更简单地重写一下：
q (a, b, c) = a == A0 && c == C0
其中A0和分别是和C0类的成员；请参阅上面的排序声明。因此，每当is 、is时，它都会说 is ，并且 is 是什么并不重要。ACqTrueaA0cC0b
您可以让自己相信这个模型确实满足您想要的约束。
总结; 在 z3 中对这些问题进行建模确实是可能的，尽管有点笨拙和大量使用量词可能会使求解器永远循环或返回unknown。解释输出可能有点麻烦，尽管您会意识到模型将遵循类似的模式：首先是未解释的排序，然后是谓词的定义。
正如我提到的，在 SMTLib 中对 z3 进行编程既麻烦又容易出错。这是使用 Python 接口完成的相同程序：
(declare-sort A)
(declare-sort B)
(declare-sort C)
(declare-fun q (A B C) Bool)
(declare-fun p (A B C) Bool)
(assert (forall ((b B))
(exists ((a A))
(exists ((c C)) (or (p a b c) (q a b c))))))
(check-sat)
(get-model)
这也有一些特性，但如果您选择在 Python 中对 z3 进行编程，希望它能为您的探索提供一个起点。这是输出：
sat
[p = [else -> And(Var(0) == A!val!0, Var(2) == C!val!0)],
q = [else -> False]]
它具有与 SMTLib 输出完全相同的信息，但编写方式略有不同。
请注意，我们定义teaches为常规 Python 函数。这是 z3py 编程中的常见风格，因为它生成的表达式会在调用时被替换。您还可以创建一个 z3 函数，如下所示：
sat
(
;; universe for A:
;; A!val!1 A!val!0
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun A!val!1 () A)
(declare-fun A!val!0 () A)
;; cardinality constraint:
(forall ((x A)) (or (= x A!val!1) (= x A!val!0)))
;; -----------
;; universe for B:
;; B!val!0
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun B!val!0 () B)
;; cardinality constraint:
(forall ((x B)) (= x B!val!0))
;; -----------
;; universe for C:
;; C!val!0 C!val!1
;; -----------
;; definitions for universe elements:
(declare-fun C!val!0 () C)
(declare-fun C!val!1 () C)
;; cardinality constraint:
(forall ((x C)) (or (= x C!val!0) (= x C!val!1)))
;; -----------
(define-fun q ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
(and (= x!0 A!val!0) (= x!2 C!val!0)))
(define-fun p ((x!0 A) (x!1 B) (x!2 C)) Bool
false)
)
请注意，这种定义风格将依赖于内部量词实例化，而不是 SMTLib 的通用函数定义工具。因此，您通常应该更喜欢 python 函数风格，因为它可以转换为“更简单”的内部结构。一般来说，它也更容易定义和使用。
您需要 z3 函数定义样式的一种情况是，如果您定义的函数是递归的并且其终止依赖于符号参数。有关此问题的讨论，请参阅：https ://stackoverflow.com/a/68457868/936310