均匀分布：错误或悖论

Question

想象一下10辆车随机，均匀分布在一个长度为1的圆形轨道上。如果位置用[0,1>范围内的C double表示，那么它们可以排序，车之间的间隙应该是车的位置前面减去后面汽车的位置。最后一个间隙需要添加 1 来解释不连续性。

在程序输出中，最后一列的统计数据和分布与其他列有很大不同。行正确地加到 1。这是怎么回事？

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>

int compare (const void * a, const void * b)
{
  if (*(double*)a > *(double*)b) return 1;
  else if (*(double*)a < *(double*)b) return -1;
  else return 0;
}

double grand_f_0_1(){
  static FILE * fp = NULL;
  uint64_t bits;

  if(fp == NULL) fp = fopen("/dev/urandom", "r");
  fread(&bits, sizeof(bits), 1, fp);
  return (double)bits * 5.421010862427522170037264004349e-020; // https://stackoverflow.com/a/26867455
}

int main()
{
  const int n = 10;
  double values[n];
  double diffs[n];
  int i, j;
  
  for(j=0; j<10000; j++) {
  
    for(i=0; i<n; i++) values[i] = grand_f_0_1();

    qsort(values, n, sizeof(double), compare);
    
    for(i=0; i<(n-1); i++) diffs[i] = values[i+1] - values[i];
    diffs[n-1] = 1. + values[0] - values[n-1];

    for(i=0; i<n; i++) printf("%.5f%s", diffs[i], i<(n-1)?"\t":"\n");

  }
  
  return(0);
}

这是输出的示例。第一列代表第一辆车和第二辆车之间的差距。最后一列代表第 10 辆车和第一辆车之间的差距，跨越起点/终点线。像 .33 和 .51 这样的大数字在最后一列中更为常见，而非常小的数字则相对较少。

0.13906 0.14241 0.24139 0.29450 0.01387 0.07906 0.02905 0.03160 0.00945 0.01962
0.01826 0.36875 0.04377 0.05016 0.05939 0.02388 0.10363 0.04640 0.03538 0.25037
0.04496 0.05036 0.00536 0.03645 0.13741 0.00538 0.24632 0.04452 0.07750 0.35176
0.00271 0.15540 0.03399 0.05654 0.00815 0.01700 0.24275 0.25494 0.00206 0.22647
0.34420 0.03226 0.01573 0.08597 0.05616 0.00450 0.05940 0.09492 0.05545 0.25141
0.18968 0.34749 0.07375 0.01481 0.01027 0.00669 0.04306 0.00279 0.08349 0.22796
0.16135 0.02824 0.07965 0.11255 0.05570 0.05550 0.05575 0.05586 0.07156 0.32385
0.12799 0.18870 0.04153 0.16590 0.02079 0.06612 0.08455 0.14696 0.13088 0.02659
0.00810 0.06335 0.13014 0.06803 0.01878 0.10119 0.00199 0.06656 0.20922 0.33263
0.00715 0.03261 0.05779 0.47221 0.13998 0.11044 0.06397 0.00238 0.04157 0.07190
0.33703 0.02945 0.06164 0.01555 0.03444 0.14547 0.02342 0.03804 0.16088 0.15407
0.10912 0.14419 0.04340 0.09204 0.23033 0.09240 0.14530 0.00960 0.03412 0.09950
0.20165 0.09222 0.04268 0.17820 0.19159 0.02074 0.05634 0.00237 0.09559 0.11863
0.09296 0.01148 0.20442 0.07070 0.05221 0.04591 0.08455 0.25799 0.01417 0.16561
0.08846 0.07075 0.03732 0.11721 0.03095 0.24329 0.06630 0.06655 0.08060 0.19857
0.06225 0.10971 0.10978 0.01369 0.13479 0.17539 0.17540 0.02690 0.00464 0.18744
0.09431 0.10851 0.05079 0.07846 0.00162 0.00463 0.06533 0.18752 0.30896 0.09986
0.23214 0.11937 0.10215 0.04040 0.02876 0.00979 0.02443 0.21859 0.15627 0.06811
0.04522 0.07920 0.02432 0.01949 0.03837 0.10967 0.11123 0.01490 0.03846 0.51915
0.13486 0.02961 0.00818 0.11947 0.17204 0.08967 0.09767 0.03349 0.08077 0.23426

Answer 1

你的代码没问题。最后一个差值的平均值比其他差值大两倍。

悖论来自这样的事实：不是在一个单位区间上选择 10 个点，而是实际上尝试将其划分为 11 个子区间，并进行 10 次切割。因此，每个子区间的预期长度是 1/11。

除了最后一对之外，连续点之间的差异接近 1/11，因为它包含最后一个子区间（最后一个点和点 1 之间）和第一个子区间（点 0 和第一个点之间）。

因此最后一个差值的平均值是 2/11。