是否有任何二进制值没有精确的十进制表示？

Question

我们都知道，有些十进制值在二进制中没有精确的表示。

例如十进制值0.1。

在 IEEE 浮点格式中，它可以具有不同的表示形式，具体取决于您要专用于表示浮点值的位数。

单精度（32 位）

• 十六进制：0x3DCCCCCD
• 二进制：1.10011001100110011001101×10 ^-4
• 十进制：0.10000 00014 90116 11938 47656 25

双精度（64 位）

• 十六进制：0x3FB999999999999A
• 二进制：1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010×10 ^-4
• 十进制：0.10000 00000 00000 00555 11151 23125 78270 21181 58340 45410 15625

扩展精度（80 位）

• 十六进制：0x3FFBCCCCCCCCCCCCCCCD
• 二进制：1.100110011001100110011001100110011001100110011001100110011001101×10 ^-4
• 十进制：0.10000 00000 00000 00000 13552 52715 60688 05425 09316 00108 74271 39282 22656 25

换句话说，十进制值0.1在二进制中没有精确的表示，它是无休止的重复值：

0.0 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 ...
0.0 ?0?0?1?1

以同样的方式 1?3 没有精确的十进制表示——它在“小数点”之后的数字永远重复：

0.33333 33333 33333 33333 33333 33333 33333 ...
0.?3

但它会走另一条路吗？

二进制中是否有任何值在十进制中没有精确表示？

我为什么要问？扩大理解的范围，增加人类知识的总和。

编辑：当链接的问题与我的完全相反时，我不知道为什么有人投票关闭作为重复。

Answer 1

不，每个二进制浮点数都有一个精确的十进制表示。

在二进制浮点的精确表示的数字正是那些可与分母是2的幂，即，被写入有理数X =一个/ 2 ^Ñ为整数一个和Ñ。

以十进制浮点数精确表示的数字正是那些可以用 10 的幂的分母书写的有理数，即y = b /10 ⁿ。

但是第一类中的每个数字也属于第二类，因为a /2 ⁿ = a •5 ⁿ /10 ⁿ。

更一般地，每个以u为底的精确表示的数字也将在以v为底的精确表示，当且仅当u 的每个素因数也是v的素因数。这将确保1 / ù ^Ñ可以写成一个/ v的^米一段一个和米。

这解释了不对称性：2 是质数，10 的质因数是 2 和 5。所以 2 的每个质因数都是 10 的质因数，反之则不然。