numpy任意精度线性代数

Question

我有一个numpy 2d阵列[中/大型 - 比如500x500].我想找到它的元素指数的特征值.问题是某些值非常负(-800,-1000等),并且它们的指数下溢(意味着它们非常接近零,因此numpy将它们视为零).无论如何在numpy中使用任意精度？

我梦想的方式:

import numpy as np

np.set_precision('arbitrary') # <--- Missing part
a = np.array([[-800.21,-600.00],[-600.00,-1000.48]])
ex = np.exp(a)  ## Currently warns about underflow
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(ex)

我已经搜索了一个gmpy和mpmath的解决方案无济于事.任何想法都会受到欢迎.

Answer 1

SymPy可以计算任意精度:

from sympy import exp, N, S
from sympy.matrices import Matrix

data = [[S("-800.21"),S("-600.00")],[S("-600.00"),S("-1000.48")]]
m = Matrix(data)
ex = m.applyfunc(exp).applyfunc(lambda x:N(x, 100))
vecs = ex.eigenvects()
print vecs[0][0] # eigen value
print vecs[1][0] # eigen value
print vecs[0][2] # eigen vect
print vecs[1][2] # eigen vect

输出:

-2.650396553004310816338679447269582701529092549943247237903254759946483528035516341807463648841185335e-261
2.650396553004310816338679447269582701529092549943247237903254759946483528035516341807466621962539464e-261
[[-0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999994391176386872]
[                                                                                                      1]]
[[1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000560882361313]
[                                                                                                    1]]

您可以将N(x,100)中的100更改为其他精度,但是,当我尝试1000时,本征vect的计算失败.

Answer 2

在64位系统上,有一个numpy.float128dtype.(我相信float96在32位系统上也有一个dtype)虽然numpy.linalg.eig不支持128位浮点数,但scipy.linalg.eig(有点)确实如此.

但是,从长远来看,这一切都不重要.任何特征值问题的一般求解器都是迭代的,而不是精确的,所以你不能通过保持额外的精度来获得任何东西! np.linalg.eig适用于任何形状,但永远不会返回精确的解决方案.

如果你总是在解决2x2矩阵问题,那么编写你自己的解算器应该更加精确.我将在最后展示一个这样的例子......

无论如何,进入无意义的精确内存容器:

import numpy as np
import scipy as sp
import scipy.linalg

a = np.array([[-800.21,-600.00],[-600.00,-1000.48]], dtype=np.float128)
ex = np.exp(a)
print ex

eigvals, eigvecs = sp.linalg.eig(ex)

# And to test...
check1 = ex.dot(eigvecs[:,0])
check2 = eigvals[0] * eigvecs[:,0]
print 'Checking accuracy..'
print check1, check2
print (check1 - check2).dot(check1 - check2), '<-- Should be zero'

但是,你会注意到你所得到的只是做的一样np.linalg.eig(ex.astype(np.float64).事实上,我很确定这scipy是在做什么,同时numpy引发错误而不是默默地做.我可能是错的,不过......

如果你不想使用scipy,一种解决方法是在取幂后重新定标,但在求解特征值之前,将它们转换为"正常"浮点数,求解特征值,然后将事物重新设置为float128,然后重新缩放.

例如

import numpy as np

a = np.array([[-800.21,-600.00],[-600.00,-1000.48]], dtype=np.float128)
ex = np.exp(a)
factor = 1e300
ex_rescaled = (ex * factor).astype(np.float64)

eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(ex_rescaled)
eigvals = eigvals.astype(np.float128) / factor

# And to test...
check1 = ex.dot(eigvecs[:,0])
check2 = eigvals[0] * eigvecs[:,0]
print 'Checking accuracy..'
print check1, check2
print (check1 - check2).dot(check1 - check2), '<-- Should be zero'

最后,如果您只是求解2x2或3x3矩阵,您可以编写自己的求解器,它将为这些矩阵形状返回精确值.

import numpy as np

def quadratic(a,b,c):
    sqrt_part = np.lib.scimath.sqrt(b**2 - 4*a*c)
    root1 = (-b + sqrt_part) / (2 * a)
    root2 = (-b - sqrt_part) / (2 * a)
    return root1, root2

def eigvals(matrix_2x2):
    vals = np.zeros(2, dtype=matrix_2x2.dtype)
    a,b,c,d = matrix_2x2.flatten()
    vals[:] = quadratic(1.0, -(a+d), (a*d-b*c))
    return vals

def eigvecs(matrix_2x2, vals):
    a,b,c,d = matrix_2x2.flatten()
    vecs = np.zeros_like(matrix_2x2)
    if (b == 0.0) and (c == 0.0):
        vecs[0,0], vecs[1,1] = 1.0, 1.0
    elif c != 0.0:
        vecs[0,:] = vals - d
        vecs[1,:] = c
    elif b != 0:
        vecs[0,:] = b
        vecs[1,:] = vals - a
    return vecs

def eig_2x2(matrix_2x2):
    vals = eigvals(matrix_2x2)
    vecs = eigvecs(matrix_2x2, vals)
    return vals, vecs

a = np.array([[-800.21,-600.00],[-600.00,-1000.48]], dtype=np.float128)
ex = np.exp(a)
eigvals, eigvecs =  eig_2x2(ex) 

# And to test...
check1 = ex.dot(eigvecs[:,0])
check2 = eigvals[0] * eigvecs[:,0]
print 'Checking accuracy..'
print check1, check2
print (check1 - check2).dot(check1 - check2), '<-- Should be zero'

这个返回一个真正精确的解决方案,但只适用于2x2矩阵.然而,这是唯一可以从额外精度中获益的解决方案!

Answer 3

据我所知,numpy不支持高于double精度(float64),如果没有指定则是默认值.

尝试使用此功能:http://code.google.com/p/mpmath/

功能列表(等)

算术:

• 具有任意精度的实数和复数
• 无限的指数大小/大小