如何在 Julia 中测试特定数字有效数字的近似相等性

Question

isapprox()Julia 中的函数用于测试两个数字或数组是否近似相等。我希望能够测试任何所需数量的有效数字的近似相等性。正如下面的代码示例所示，近似容差要么以绝对值给出，要么以相对（百分比）偏差给出。

# Syntax
isapprox(a, b; atol = <absolute tolerance>, rtol = <relative tolerance>)

# Examples
# Absolute tolerance
julia> isapprox(10.0,9.9; atol = 0.1) # Tolerance of 0.1
true

# Relative tolerance
julia> isapprox(11.5,10.5; rtol = 0.1) # Rel. tolerance of 10%
true

julia> isapprox(11.4,10.5; rtol = 0.01) # Rel. tolerance of 1%
false

julia> isapprox(98.5, 99.4; rtol = 0.01) # Rel. tolerance of 1%
true

我在某处的论坛中读到该设置rtol = 1e-n，n有效数字的数量将比较有效数字。（不幸的是，我无法再次找到它。）不管怎样，正如示例所示，这显然不是真的。

鉴于在这种情况下我们想用两位有效数字近似相等，11.4 和 10.5 都近似等于 11。但是，两者之间的相对差异大于 1%，返回近似值false。但是，对于任何大于 90 的数字，近似值将为true。如代码所示，将相对容差增加十倍至 10% 将导致灵敏度过低。

是否有一个参数/值/公式我可以设置rtol为isapprox()返回true正确为显著位数任何期望是多少？

Answer 1

快速回答是否定的，没有固定值，rtol您可以选择保证isapprox(x, y; rtol=rtol)比较值x和y一定数量的有效数字。这是因为，如何isapprox实现：rtol相对于计算最大的norm(x)和norm(y)。您必须rtol为每对计算一个不同的值，x并且y您正在比较。

看起来您要求的是一种将x和y 四舍五入到一定数量的有效数字（以 10 为基数）的值进行比较的方法。该round方法有一个sigdigits可能有用的关键字：

isapproxsigfigs(a, b, precision) = round(a, sigdigits=precision) == round(b, sigdigits=precision)

isapproxsigfigs(10, 9.9, 1)  # true,  10 == 10
isapproxsigfigs(10, 9.9, 2)  # false, 10 != 9.9

isapproxsigfigs(11.4, 10.5, 1)  # true,  10 == 10
isapproxsigfigs(11.4, 10.5, 2)  # false, 11 != 10 (remember RoundingMode!)

isapproxsigfigs(11.4, 10.51, 1)  # true,  10 == 10
isapproxsigfigs(11.4, 10.51, 2)  # true,  11 == 11
isapproxsigfigs(11.4, 10.51, 3)  # false, 11.4 != 10.5

对于第二个示例，请记住，如果您四舍五入，则 10.5 只是“几乎 11”。RoundingModeJulia 使用的默认值是RoundNearest，它舍入为偶数。如果您希望领带四舍五入，请使用RoundNearestTiesUp：

isapproxsigfigs2(a, b, precision) = 
    round(a, RoundNearestTiesUp, sigdigits=precision) == 
    round(b, RoundNearestTiesUp, sigdigits=precision)

isapproxsigfigs2(11.4, 10.5, 2)  # true, 11 == 11