使用 atan2 的 FFT 的相位角 - 奇怪的行为。相移偏移？拆开？

Question

我正在测试和执行简单的 FFT，并且我对相移感兴趣。我用正弦曲线生成 256 个样本的简单数组10个周期。

我对这些样本执行 FFT 并接收复杂数据 (2x128)。然后我计算这些数据的大小，FFT 看起来像预期的那样：

然后我想计算 fft 复数输出的相移。我正在使用atan2。组合输出 fft_magnitude（蓝色）+ fft+phase（红色）如下所示： 这几乎是我对“小”问题的期望。我知道这是包裹，但如果我想象将其展开，幅度峰值的相移读数为 36 度，我认为它应该为 0，因为我的输入正弦曲线根本没有移动。

如果我移动这个 -36 度（蓝色是同相，红色是移动的，蓝色打印仅供参考），正弦曲线看起来像这样：

如果我对这个红色数据执行 FFT，则幅度 + 相位输出如下所示：

因此很容易想象，展开相位在幅度峰值处将接近 0。所以有 36 度的偏移。但是，如果我准备每 256 个样本 20 个周期和 0 相移的数据，会发生什么

如果我随后执行 FFT，则这是一个输出（幅度 + 相位）： 我可以告诉你是否会跨越72度的峰值。所以现在有 72 度的偏移。

谁能给我提示为什么会发生这种情况？atan2() 相位输出是否与频率相关且偏移量为 2pi/周期（360 度/周期）？如何解开它并获得正确的结果（我找不到可解开的工作 C 库）。

它在 ARM Cortex-M7 处理器（嵌入式）上运行。

#define phaseShift 0
#define cycles 20

#include <arm_math.h>
#include <arm_const_structs.h>

float32_t phi = phaseShift * PI / 180; //phase shift in radians
float32_t data[256];  //input data for fft
float32_t output_buffer[256]; //output buffer from fft
float32_t phase_data[128];  //will contain atan2 values of output from fft (output values are complex)
float32_t magnitude[128];  //will contain absolute values of output from fft (output values are complex)
float32_t incrFactorRadians = cycles * 2 * PI / 255;

arm_rfft_fast_instance_f32 RealFFT_Instance;

void setup()
{
  Serial.begin(115200);
  delay(2000);
  arm_rfft_fast_init_f32(&RealFFT_Instance, 256);   //initializing fft to be ready for 256 samples

  for (int i = 0; i < 256; i++)  //print sinusoids
  {
    data[i] = arm_sin_f32(incrFactorRadians * i + phi);
    Serial.print(arm_sin_f32(incrFactorRadians * i), 8); Serial.print(","); Serial.print(data[i], 8); Serial.print("\n"); //print reference in-phase sinusoid and shifted sinusoid (data for fft)
  }
  Serial.print("\n\n");
  delay(10000);

  arm_rfft_fast_f32(&RealFFT_Instance, data, output_buffer, 0); //perform fft

  for (int i = 0; i < 128; i++) //calculate absolute values of an fft output (fft output is complex), and phase shift
  {
    magnitude[i] = output_buffer[i * 2] * output_buffer[i * 2] + output_buffer[(i * 2) + 1] * output_buffer[(i * 2) + 1];
    __ASM("VSQRT.F32 %0,%1" : "=t"(magnitude[i]) : "t"(magnitude[i])); //fast square root ARM DSP function

    phase_data[i] = atan2(output_buffer[i * 2], output_buffer[i * 2 +1]) * 180 / PI;
  }

}

void loop() //print magnitude of fft and phase output every 10 seconds 
{
  for (int i = 0; i < 128; i++)
  {
    Serial.print(magnitude[i], 8); Serial.print(","); Serial.print(phase_data[i], 8); Serial.print("\n");
  }
  
  Serial.print("\n\n");
  delay(10000);
}

Answer 1

仅当输入正弦波在 FFT 孔径宽度中恰好是整数周期时，裸 FFT 加上 atan2() 才能正确测量输入正弦波的起始相位。

如果信号不完全是整数周期（某个其他频率），则必须在 FFT 之前通过执行 FFT 移位（将数据旋转 N/2）来使数据居中。然后，FFT 将正确测量原始数据中心的相位，并远离 FFT 的有限长度矩形窗口对非周期孔径信号产生的圆形不连续性。

如果您想要数据中除中心之外的某个点的相位，可以使用中心频率和相位的估计来重新计算其他位置的相位。

还有其他窗函数（Blackman-Nutall 等）可能会产生比矩形窗更好的相位估计，但通常不如使用 FFTShift 的估计好。

Answer 2

分解 hotpaw2 的出色答案。（他们的答案总是充满了金块信息，我花了几天时间学习足以理解其中的才华。）

当工程师说“整数周期”时，他们的意思是您输入 FFT（孔径）的样本需要以确保捕获频率正弦波的完整波的方式进行采样。

想象一下正弦波从零开始，在 1 处达到峰值，然后降至零以下，在负 1 处进入波谷，然后回到零。

这是一个“完整周期”。现在，如果您的波的周期为每秒 10 个周期，并且您以每秒 100 个样本的速度进行采样，则每个波将有 10 个样本。

现在您将 13 个样本放入 FFT 中，并且您的相位已关闭。为什么？好吧，这个阶段正在寻找波浪能够永远平稳地持续下去。您刚刚为第一个样本开始了零，并在第 13 个样本上下降为 0.25。现在相位计算尝试连接两端并在波中出现这种跳跃。这会导致相位错误。

您需要做的是选择一些样本输入 FFT，您知道这些样本仅包含全波。

（注意）您一次只关心一个频率的相位。

并且您的样本孔径不得在正弦波的同一点开始和结束。如果从零开始并以零结束，则将两端粘贴在一起形成永久循环的计算将在过渡处得到两个零。因此，您必须在距离重复点不远的地方停止一个样本。

可以找到演示这一点的代码：Scipy FFT - 如何获取相位角