32位定点运算1x1不等于1

Question

我正在实现 32 位有符号整数定点算术。范围是从1到-1，INT32_MAX对应于1。我不确定是否要制作INT32_MIN或-INT32_MAX对应于-1，但这暂时放在一边。

我做了一些乘法和舍入操作，如下所示：

#define mul(a, b) ((int64_t)(a) * (b))

#define round(x) (int32_t)((x + (1 << 30)) >> 31)

然后可以使用 找到两个数字的乘积round(mul(a, b))。

当我检查身份时，问题就出现了。主要问题是 1x1 不是 1。它是INT32_MAX-1。这显然是不希望的，因为我想要位精度。我想这会影响其他附近的数字，因此如果操作数都是 ，则修复不是仅加 1 的情况INT32_MAX。另外，-1x-1 不是-1，1x-1 不是-1，并且-1x-1=-1。所以这些身份都站不住脚。

是否有一个简单的解决方案，或者这只是使用定点算术的症状？

Answer 1

在其一般形式中，定点格式将数字x表示为整数x \xe2\x80\xa2 s。通常，s是某个底数b的幂， s = b ^p。例如，我们可以将一些美元x存储为x \xe2\x80\xa2100，因此 $3.45 可能存储为 345。这里我们可以很容易地明白为什么这被称为 \xe2\x80\x9cfixed-point\xe2\x80 \x9d 格式：存储的数字在概念上将小数点插入为固定位置，在本例中，最右边数字左边两位：\xe2\x80\x9c345\xe2\x80\x9d 在概念上是 \xe2\x80\x9c3。 45\xe2\x80\x9d。（这也可以称为小数点而不是小数点，考虑到基数b不是十的情况。并且p指定插入小数点的位置，从右侧开始p基数b数字。）

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如果你让INT_MAX代表 1，那么你就隐含地说s = INT_MAX。（并且，由于INT_MAX不是任何其他整数的幂，因此我们有b =INT_MAX和pINT_MAX = 1。）然后 \xe2\x88\x921 必须由 \xe2\x88\x921\xe2\x80\xa2 =表示-INT_MAX。它不会被表示为INT_MIN（除了在古老的 C 实现中，其中INT_MIN= -INT_MAX）。

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给定s = INT_MAX，移位 31 位并不是实现乘法的正确方法。给定两个数字x和y以及表示a和b ， xy的表示通过将表示a和b相乘并除以s来计算：

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• a代表x，因此a = xs。
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• b代表y，因此b = ys。
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• 那么ab / s = xsys / s = xys，并且xys代表xy。
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移位 31 除以 2 ³¹，因此与除以 不同INT_MAX。此外，硬件上的除法通常很慢。您可能最好选择s = 2 ³⁰而不是INT_MAX。然后你可以移动 30 位。

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在计算ab / s时，我们经常要进行四舍五入。在除法之前将 \xc2\xbd 添加到乘积是一种舍入方法，但这可能不是您想要的负乘积。如果乘积为负，您可能需要考虑添加 \xe2\x88\x92\xc2\xbd 。

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