使用 RankNTypes 编码的 System-F 自然数的“case”运算符无法进行类型检查

Question

在 Haskell 中，如果启用RankNTypes扩展

{-# Language RankNTypes           #-}

然后可以定义在 System-F 中编码的自然数：

type Nat = forall a. a -> ((a -> a) -> a)

zero :: Nat 
zero = \z s -> z 

succ :: Nat -> Nat
succ n = \z s -> s (n z s)

fold :: a -> (a -> a) -> Nat -> a
fold z s n = n z s

好极了！下一步是定义case操作：想法是

caseN :: Nat -> a -> (Nat -> a) -> a 
caseN n z f = "case n of 
    zero -> z 
    succ m -> f m"

当然，这不是直接可能的。可能的一件事是正常定义自然数{data Nats = Zero | Succ Nats}并定义Nat和之间的“转换” Nats，然后使用case内置于 Haskell的语法构造。

在无类型的 lambda 演算中，caseN可以写成

caseN n b f = snd (fold (zero, b) (\(n0, _) -> (succ n0, f n0)) n)

遵循 Kleene 显然发现的用于定义前驱函数的技巧。这个版本的caseN看起来确实应该使用上面给出的类型进行类型检查。 (zero, b) :: (Nat, b)并且\(n0, _) -> (succ n0, f n0) :: (Nat, b) -> (Nat, b)，这样fold (zero, b) (\(n0, _) -> (succ n0, f n0)) n :: (Nat, b)。

但是，这不会在 Haskell 中进行类型检查。试图内功能隔离\(n0, _) -> (succ n0, f n0)用

succf :: (Nat -> b) -> (Nat, b) -> (Nat, b)
succf f (n, _y) = (succ n, f n)

表明ImpredicativeTypes可能需要扩展，因为succf似乎需要扩展。对于更典型的{data Nats = Zero | Succ Nats}，该caseN构造确实有效（在更改为适当的fold、 和Zero、 之后Succ）。

可以直接caseN上班Nat吗？需要不同的技巧吗？

Answer 1

我认为典型的技巧是使用数据类型（或newtype评论者指出的）包装器。首先，Nat您可以将其定义为：

newtype Nat = Nat { unNat :: forall a. a -> ((a -> a) -> a) }

这与您的定义同构，只是您必须显式包装和解开内容。

我们可以继续编写与您相同的定义：

zero :: Nat
zero = Nat $ \z s -> z
succ :: Nat -> Nat
succ (Nat n) = Nat $ \z s -> s (n z s)
fold :: a -> (a -> a) -> Nat -> a
fold z s (Nat n) = n z s

这基本上是您已经拥有的，但现在使用显式包装和解包Nat（作为构造函数和模式）。

此时，您的最终定义才有效：

caseN :: Nat -> b -> (Nat -> b) -> b
caseN n b f = snd (fold (zero,b) (\(n0,_) ->  (succ n0,f n0)) n)

succf :: (Nat -> b) -> (Nat, b) -> (Nat, b)
succf f (n,_y) = (succ n, f n)