围绕任意轴的圆周旋转

Question

我正在编写星际争霸2自定义地图,并在3D中获得了一些数学方法.目前我正在尝试创建和旋转任意轴周围的点,由x,y和z给出(xyz向量被标准化).

我一直在尝试和浏览互联网上的很多东西,但我不知道它是如何正常工作的.我当前的脚本(你可能不知道语言,但它没什么特别的)是几个小时打破所有内容的结果(无法正常工作):

    point CP;
fixed AXY;
point D;
point DnoZ;
point DXY_Z;
fixed AZ;
fixed LXY;
missile[Missile].Angle = (missile[Missile].Angle + missile[Missile].Acceleration) % 360.0;
missile[Missile].Acceleration += missile[Missile].AirResistance;
if (missile[Missile].Parent > -1) {
    D = missile[missile[Missile].Parent].Direction;
    DnoZ = Point(PointGetX(D),0.0);
    DXY_Z = Normalize(Point(SquareRoot(PointDot(DnoZ,DnoZ)),PointGetHeight(D)));
    AZ = MaxF(ACos(PointGetX(DXY_Z)),ASin(PointGetY(DXY_Z)))+missile[Missile].Angle;
    DnoZ = Normalize(DnoZ);
    AXY = MaxF(ACos(PointGetX(DnoZ)),ASin(PointGetY(DnoZ)));
    CP = Point(Cos(AXY+90),Sin(AXY+90));
    LXY = SquareRoot(PointDot(CP,CP));
    if (LXY > 0) {
        CP = PointMult(CP,Cos(AZ)/LXY);
        PointSetHeight(CP,Sin(AZ));
    } else {
        CP = Point3(0.0,0.0,1.0);
    }
} else {
    CP = Point(Cos(missile[Missile].Angle),Sin(missile[Missile].Angle));
}
missile[Missile].Direction = Normalize(CP);
missile[Missile].Position = PointAdd(missile[Missile].Position,PointMult(missile[Missile].Direction,missile[Missile].Distance));

我只是无法理解数学.如果你能用简单的术语解释它是最好的解决方案,那么剪切的代码也会很好(但不太有帮助,因为我计划将来做更多的3D东西).

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix.从轴和角度看旋转矩阵部分.为方便起见,这是您需要的矩阵.它有点毛茸茸.theta是角度,ux,uy和uz是归一化轴向量的x,y和z分量

如果您不了解矩阵和向量,请回复,我会帮助您.

Answer 2

进行这种旋转的有用方法是使用四元数来完成它们.在实践中,我发现它们更容易使用并且具有避免万向节锁定的额外好处.

这是一个很好的演练,解释了它们如何以及为什么用于围绕任意轴的旋转(这是对用户问题的响应).这是一个更高的水平,对于这个想法的新手会很好,所以我建议从那里开始.

更新以避免链接腐蚀

来自链接网站的文字:

毫无疑问,您已经得出结论,围绕穿过原点的轴和(a,b,c)三维单位球上的点的旋转是线性变换,因此可以通过矩阵乘法来表示.我们将给出一种非常光滑的方法来确定这个矩阵,但是为了理解公式的紧凑性,从一些评论开始是明智的.

三维旋转是相当特殊的线性变换,不仅仅是因为它们保留了矢量的长度,并且(当两个矢量旋转时)矢量之间的角度.这种变换称为"正交",它们由正交矩阵表示:

M M' = I

我们通过'方便地表示转置.换句话说,正交矩阵的转置是其反转.

考虑定义转换所需的数据.你已经给出了旋转轴的符号ai + bj + ck,方便地假设它是一个单位向量.唯一的另一个数据是旋转角度,由于缺乏更自然的特征,我将用r表示(旋转？),我们将假设以弧度给出.

现在即使在正交变换中旋转实际上也有点特殊,并且事实上它们也被称为特殊正交变换(或矩阵),因为它们具有"定向保持"的特性.将它们与反射相比较,反射也是长度和角度保持,你会发现保持方向的几何特征(或者如果你愿意的话,"手性")在矩阵的行列式中具有数字对应物.旋转矩阵具有行列式1,而反射矩阵具有行列式-1.事实证明,两次旋转的产品(或组合物)再次是旋转,这与产品的决定因素是决定因素的产物(或在旋转的情况下为1)的事实一致.

现在我们可以描述一个逐步的方法,人们可以按照这个方法构建所需的矩阵(在我们快速整个过程之前跳转到Answer!).首先考虑我们旋转单位向量的步骤:

u = ai + bj + ck

这使得它与"标准"单位矢量之一一致,可能是k(正位z轴).现在我们知道如何围绕z轴旋转; 这是在x,y坐标上进行通常的2x2变换的问题:

       cos(r) sin(r)   0
M  =  -sin(r) cos(r)   0
         0      0      1

最后,我们需要"撤消"将你带到k的初始旋转,这很容易,因为该变换的逆是(我们记得)由矩阵转置表示.换句话说,如果矩阵R表示将u转换为k的旋转,则R'将k取为u,我们可以写出这样的转换组合:

R' M R

很容易证实,当乘以u时,这个矩阵乘积再次给你回复:

R' M R u = R' M k = R' k = u

因此,这确实围绕由u定义的轴旋转.

这种表达的一个优点是它干净地分离出M对角度r的依赖性与Q和Q'对"轴"向量u的依赖关系.但是如果我们必须进行详细的计算,我们显然会有很多矩阵乘法.

所以,到了捷径.事实证明,当所有尘埃落定时,旋转之间的乘法与单位四元数的乘法同构.四元数,如果你以前没见过它们,是一种复数的四维推广.它们是威廉·汉密尔顿于1843年"发明的":

[Sir William Rowan Hamilton] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hamilton.html

今天的3D图形程序员非常欠债.

q = q0 + q1*i + q2*j + q3*k然后每个单位四元数定义一个旋转矩阵:

     (q0² + q1² - q2² - q3²)      2(q1q2 - q0q3)          2(q1q3 + q0q2)

Q  =      2(q2q1 + q0q3)     (q0² - q1² + q2² - q3²)      2(q2q3 - q0q1)

          2(q3q1 - q0q2)          2(q3q2 + q0q1)     (q0² - q1² - q2² + q3²)

验证Q是正交矩阵,即.这Q Q' = I实际上意味着Q行形成了一个标准正交基础.因此,例如,第一行的长度应为1:

(q0² + q1² - q2² - q3²)² + 4(q1q2 - q0q3)² + 4(q1q3 + q0q2)²

  = (q0² + q1² - q2² - q3²)² + 4(q1q2)² + 4(q0q3)² + 4(q1q3)² + 4(q0q2)²

  = (q0² + q1² + q2² + q3²)²

  =  1

并且前两行应该有点积为零:

  [ (q0² + q1² - q2² - q3²), 2(q1q2 - q0q3), 2(q1q3 + q0q2) ]

   * [ 2(q2q1 + q0q3), (q0² - q1² + q2² - q3²), 2(q2q3 - q0q1) ]

 = 2(q0² + q1² - q2² - q3²)(q2q1 + q0q3)

   + 2(q1q2 - q0q3)(q0² - q1² + q2² - q3²)

   + 4(q1q3 + q0q2)(q2q3 - q0q1)

 = 4(q0²q1q2 + q1²q0q3 - q2²q0q3 - q3²q2q1)

   + 4(q3²q1q2 - q1²q0q3 + q2²q0q3 - q0²q2q1)

 =  0

它也可以一般地显示det(Q) = 1,因此Q实际上是旋转.

但围绕Q轴旋转的是什么？从什么角度来看？那么,给定角度r和单位矢量:

u = ai + bj + ck

和以前一样,相应的四元数是:

q = cos(r/2) + sin(r/2) * u

  = cos(r/2) + sin(r/2) ai + sin(r/2) bj + sin(r/2) ck

因此:

q0 = cos(r/2), q1 = sin(r/2) a, q2 = sin(r/2) b, q3 = sin(r/2) c,

我们能够得到所需的属性乘以Q"修复"你:

Q u = u

让我们做一个简单的例子,而不是通过冗长的代数.

让u = 0i + 0.6j + 0.8k是我们的单位矢量,且r = PI是我们的旋转角度.

那么四元数是:

q = cos(pi/2) + sin(pi/2) * u

  = 0 + 0i + 0.6j + 0.8k

和旋转矩阵:

        -1     0     0

Q =      0  -0.28  0.96

         0   0.96  0.28

在这个具体案例中,很容易验证QQ'= I和det(Q)= 1.

我们还计算:

Q u = [ 0, -0.28*0.6 + 0.96*0.8, 0.96*0.6 + 0.28*0.8 ]'

    = [ 0, 0.6, 0.8 ]'

    =  u

即.单位矢量u定义旋转轴,因为它由Q"固定".

最后,我们通过考虑Q在正x轴方向上作用于单位矢量的方式来说明旋转角是pi(或180度),x轴垂直于u:

i + 0j + 0k,  or as a vector, [ 1, 0, 0 ]'

然后Q [ 1, 0, 0 ]' = [-1, 0, 0 ]'是关于u的[1,0,0]'到角度pi的旋转.

作为四元数旋转表示和一些其他表示方法(以及它们的优点)的参考,请参阅此处的详细信息:

[代表3D旋转] http://gandalf-library.sourceforge.net/tutorial/report/node125.html

摘要

给定角度r以弧度和单位向量u = ai + bj + ck或[a,b,c]',定义:

q0 = cos(r/2),  q1 = sin(r/2) a,  q2 = sin(r/2) b,  q3 = sin(r/2) c

并从这些值构造旋转矩阵:

     (q0² + q1² - q2² - q3²)      2(q1q2 - q0q3)          2(q1q3 + q0q2)

Q  =      2(q2q1 + q0q3)     (q0² - q1² + q2² - q3²)      2(q2q3 - q0q1)

          2(q3q1 - q0q2)          2(q3q2 + q0q1)     (q0² - q1² - q2² + q3²)

乘以Q然后实现所需的旋转,特别是:

Q u = u

Answer 3

要执行3D旋转,您只需将旋转点偏移到原点并围绕每个轴顺序旋转,将结果存储在每个轴旋转之间,以便与下一个旋转操作一起使用.算法如下所示:

将点偏移到原点.

Point of Rotation = (X1, Y1, Z1)
Point Location    = (X1+A, Y1+B, Z1+C)

(Point Location - Point of Rotation) = (A, B, C).

围绕Z轴执行旋转.

    A' = A*cos ZAngle - B*sin ZAngle
    B' = A*sin ZAngle + B*cos ZAngle
    C' = C.

接下来,围绕Y轴执行旋转.

    C'' = C'*cos YAngle - A'*sin YAngle
    A'' = C'*sin YAngle + A'*cos YAngle
    B'' = B'   

现在执行关于X轴的最后一次旋转.

    B''' = B''*cos XAngle - C''*sin XAngle
    C''' = B''*sin XAngle + C''*cos XAngle
    A''' = A''

最后,将这些值添加回原始旋转点.

Rotated Point = (X1+A''', Y1+B''', Z1+C''');

我发现这个链接非常有用.它定义了如何围绕X,Y和Z轴执行单独旋转.

在数学上,您可以像这样定义一组操作:

Answer 4

对此进行编程的一种非常巧妙的方法是罗德里格斯旋转公式，特别是如果您能够使用矩阵（例如在 Matlab 中）进行操作。

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该公式创建旋转矩阵绕由单位向量定义的轴以一个角度使用一个非常简单的方程：

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在哪里是单位矩阵并且是由单位向量的分量给出的矩阵:

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请注意，向量非常重要是单位向量，即范数必须是 1。

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您可以检查一下，对于欧几里德轴，该公式与维基百科上找到并由 Aakash Anuj 在此发布的公式完全相同。

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自从我发现这个公式以来，我只使用它来进行旋转。希望它对任何人都有帮助。

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