我们可以假设所有正整数 x == (int)sqrt(x * x) 吗？

Question

在 C++ 中，该sqrt函数仅对double值进行操作。

如果我们使用整数（unsigned long long），我们可以确定

x == sqrt(x * x)

对于任何积极的x地方x * x <= MAXIMUM_VALUE？

它取决于机器架构和编译器吗？

Answer 1

在 Java 中，Math.sqrt(x)采用双精度值。你说 xx * x在下面Integer.MAX_VALUE。每个整数都可以用 double 完美表示 -double在 java 中被明确定义为带有 52 位尾数的 iEEE-754 风格的 double；因此在 java 中 adouble可以完美地表示 -2^52 和 +2^52 之间的所有整数值，这很容易涵盖所有int值（因为在 java 上定义为有符号 32 位），但它不涵盖所有long值。（定义为有符号的 64 位；64 大于 52，所以不行）。

因此，x * x不损失精度时它结束了从得到转换int到double。然后，Math.sqrt()在这个数字上会给出一个结果，它也可以完美地表示为 a double（因为它是x，并且鉴于它x*x适合 an int，x也必须适合），因此，是的，这将始终适用于所有x。

但是，嘿，为什么不试一试，对吧？

public static void main(String[] args) {
    int i = 1;
    while (true) {
        if (i * i < 0) break;
        int j = (int) Math.sqrt(i * i);
        if (i != j) System.out.println("Oh dear! " + i + " -> " + j);

        i++;
    }
    System.out.println("Done at " + i);
}

> Done at 46341

因此，通过彻底尝试这一切来证明这一点。

事实证明，没有这样的-任何long值，这样x * x仍然适用（因此，<2^63-1）具有如下性质x == (long) Math.sqrt(x * x);。这大概是因为 at x*x，该数字完全适合 long，即使并非所有这么大的整数都如此。证明：

long p = 2000000000L;
for (; true; p++) {
    long pp = p * p;
    if (pp < 0) break;
    long q = (long) Math.sqrt(pp);
    if (q != p) System.out.println("PROBLEM: " + p + " -> " + q);
}
System.out.println("Abort: " + p);

> Abort: 3037000500

当然，如果存在任何不成立的数字，那么在这个高端范围内至少有一个。从 0 开始需要很长时间。

但是我们是否知道 sqrt 总是会返回一个完全平方的精确值，或者它可能有点不准确？

我们应该 - 它是 java。与 C 不同，几乎所有东西都是“明确定义的”，如果 JVM 无法产生指定的确切答案，则它不能合法地称自己为 JVM。Math.sqrt文档提供的余地不足以让任何答案准确x地成为合法实施，因此，是的，这是一个保证。

理论上，JVM 对浮点数有一些非常小的余地，这strictfp会禁用，但 [A] 更多的是使用 80 位寄存器来表示数字而不是 64，这不可能破坏这个假设，[B] 不久前出现了一个java标记问题，表明strictfp对任何硬件和任何 VM 版本都有任何影响，唯一可行的结果是 15 年前不可重现的事情。我非常有信心地说这将始终成立，无论硬件或 VM 版本如何。