这是一个好的幺半群行动吗？

Question

我想我可能偶然发现了一个一般的，尽管有点退化，monoid action。伪 Haskell：

instance (Monoid m, Monoid n) => Act m n where
    act mempty x = x  -- let's pretend that we can use `mempty` as a pattern
    act _ _ = mempty

m的操作n是设置n为mempty除非m本身为空。

这是遵纪守法的幺半群行动吗？它是不是由我以外的人发明的？如果有，它的名字是什么？

Answer 1

它看起来不像幺半群行动，至少在一般情况下是这样。如果是这样，我们应该具有以下属性：

-- law 1
act mempty            x = x
-- law 2
act (m1 <> m2) x = act m1 (act m2 x)

并且，由于act在伪实例中定义了方式：

-- property 1
act x y = mempty
   when x /= mempty

Take mand nto be Sum Int，这是一个幺半群。

我们有

act (Sum 0) (Sum 1)
= { definition of mempty }
act mempty (Sum 1)
= { law 1 }
Sum 1

我们还有

act (Sum 0) (Sum 1)
= { definition of <> on Sum }
act (Sum (-2) <> Sum 2) (Sum 1)
= { law 2 }
act (Sum (-2)) (act (Sum 2) (Sum 1))
= { property 1, given Sum (-2) /= mempty }
mempty
= { definition of mempty }
Sum 0

导致两个不相容的结果。

另一方面， whenm是一个幺半群，其中没有（非平凡的）元素具有逆元素，例如[a]，那么您act看起来像是一个正确的动作。