棘手的柏林噪音问题。Grad 函数如何使用归一化向量？

Question

我目前正在了解改进的柏林噪音。我完全理解这个理论，但是，我对其常见实现的一个方面感到困惑，例如this。

我的问题是， grad() 函数如何返回归一化向量（梯度和方向）的点积？我的意思是，归一化向量的点积的范围为 -1 到 1，这是将所有点积混合（淡入淡出）在一起后 Perlin 噪声的正常输出。但是进行点积的向量没有标准化（梯度函数和方向向量都不是）。那么，输出如何落在-1到1的范围内呢？

我唯一的猜测是梯度向量的大小均为根 2，并且方向向量的所有轴都在 -1 到 1 的范围内。因此，我认为这就是 Perlin 噪声输出最终落在 -1 范围内的原因至 1 范围。这是为什么吗？有人能证明或找到证据吗？

多谢你们

Answer 1

这些向量没有标准化（它们的长度是 sqrt(2)，正如其他贡献者所描述的那样），并且噪声的总输出不是精确的 -1 到 1。如果向量 <1, 1, 1> 和所有符号排列都是可能的，那么我相信最大值将位于每个立方体的中心。它将是 dot(grad, offsetFromVertex) = dot(<1, 1, 1>, <0.5, 0.5, 0.5>) = 1.5, /8 对于 0.5^3 在 3 个方向中每个方向都有一半的插值权重, *8 再次因为有 8 个顶点所以它取消。如果向量被归一化，并且它们可以指向每个立方体的中心，那么您将得到 dot(<1, 1, 1>/sqrt(3), <0.5, 0.5, 0.5>) = 1.5/sqrt(3 ) \xe2\x89\x88 0.8660254037844387。

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但是，这两种情况都不是这种情况，因此噪声的实际最小/最大值更加复杂。我过去曾使用您正在查看的梯度集对噪声进行梯度上升，以找到其真正的最大值。最大值略大于1，并且不在中心。与整个噪声相乘（或等效地预乘表中的每个梯度）以校正输出范围的值是 0.964921414852142333984375 。

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顺便说一句，如果您还没有通过其他来源发现这一点：Perlin 非常好学，但它会对基轴产生很大的偏差，并且其特征的角度分布变化很小。良好的单纯型噪声实现通常会产生更好的结果。如果您要使用 Perlin，我建议选择您的垂直（或时间或未使用）方向，并在输入坐标上使用以下公式之一。您可以在分形求和之前执行此操作（更有效），也可以将其放入函数定义的开头（更方便）。一旦你这样做了，它就很棒，并且在正确的情况下使用时看起来比某些 Simplex 类型噪声实现更好。但请注意，即使您的用例只是 2D，您也需要始终使用 3D 噪声来实现此技术。

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如果 Z 为垂直、时间或未使用：

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double xy = x + y;\ndouble s2 = xy * -0.211324865405187;\nz *= 0.577350269189626;\nx += s2 - z;\ny = y + s2 - z;\nz += xy * 0.577350269189626;\n

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如果 Y 为垂直、时间或未使用：

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double xz = x + z;\ndouble s2 = xz * -0.211324865405187;\ny *= 0.577350269189626;\nx += s2 - y;\nz = z + s2 - y;\ny += xz * 0.577350269189626;\n

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之前（大量 45 度和 90 度部件）

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之后（方向偏差基本上不可见）

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