使 Applicative 成为 Monad 所需的“最低限度”是多少？

Question

该Monad类型类可以来定义return和(>>=)。然而，如果我们已经有一个Functor实例针对某些类型的构造函数f，那么这个定义是有点“比我们更需要”在(>>=)和return可以用来实现fmap，所以我们赚不到使用的Functor，我们假设实例。

相比之下，定义return和join似乎是一个更“最小” /更少冗余的方式，使f一个Monad。这样，Functor约束是必不可少的，因为fmap不能根据这些操作来编写。（注意join不一定是从Functor到的唯一最小方法Monad：我认为(>=>)也有效。）

类似地，Applicative可以用pure和来定义(<*>)，但是这个定义同样没有利用Functor约束，因为这些操作足以定义fmap。

但是，Applicative f也可以使用unit :: f ()和来定义(>*<) :: f a -> f b -> f (a, b)。这些操作不足以定义，fmap所以我会说从某种意义上说这是从Functor到的更简单的方法Applicative。

是否有Monadas fmap、unit、(>*<)和其他一些最小的运算符的特征，因为这些函数都不能从其他函数派生出来？

• (>>=)不起作用，因为它可以实现a >*< b = a >>= (\ x -> b >>= \ y -> pure (x, y))where pure x = fmap (const x) unit。
• 也不是join因为m >>= k = join (fmap k m)这样(>*<)可以如上实现。
• 我怀疑(>=>)同样失败。

Answer 1

我有东西，我想。它远非优雅，但至少足以让你摆脱困境。我开始join :: m (m a) -> ???问“它会产生什么需要(<*>)返回m a？”，我发现这是一个富有成效的思路，可能有更多的战利品。

如果你引入一个T只能在 monad 内部构造的新类型：

t :: m T

然后你可以定义一个类似连接的操作，它需要这样的T：

joinT :: m (m a) -> m (T -> a)

我们可以产生T我们需要获得甜蜜，甜蜜的a内部的唯一方法是使用t，然后我们必须将它与joinT某种方式的结果结合起来。有两种基本操作可以将两个ms合二为一：(<*>)和joinT--fmap无济于事。 joinT不会工作，因为我们只需要另一个T来使用它的结果，所以(<*>)是唯一的选择，这意味着(<*>)不能用joinT.

如果您愿意，您可以将所有内容汇总为存在主义。

joinT :: (forall t. m t -> (m (m a) -> m (t -> a)) -> r) -> r