子序列的最大长度，使得每个连续元素的按位异或为 k

Question

我试图解决这个问题，我们必须找到子序列的最大长度，使得每个连续元素的 XOR 等于 keg ：Array = [3,2,4,3,5] 和 k=1。答案是 3。 subsequence = [3,2,3]

到目前为止，我已经尝试过这些方法：

1. 朴素的双循环解决方案，我们将使用两个循环并找到 XOR 等于 k ​​的子序列。这种方法让我超时，因为数组中的元素数量可以达到 10^5。伪代码：

int finalAns=0;
loop (i=0...n):
  int xortillnow = array[i], count=1;  // since we have already selected one element
  loop(j=i+1..n):
      if((xortillnow ^ array[i])==k):
          count++;
          xortillnow = xortillnow ^ array[i];
   finalAns = max(count,finalAns);

2.Second 我正在考虑动态编程，我可以在其中存储已经计算出的子序列的异或，但我无法完成算法。

有人可以告诉一些解决这个问题的其他方法。

Answer 1

XOR 运算符有一个很好的特性，对于任何值 x，只有一个值 y，其中 x ? y = k。具体来说，该值 y 由 x 给出？k，因为

(x ? k) ? k = x ? (k ? k) = x ? 0 = x。

所以想象一下从左到右扫描数组。每次看到一个新元素时，它都可以

1. 是当前长度为 1 的新子序列的开始，或
2. 继续现有的子序列，但前提是 x ? k 在序列中出现在它之前。如果 x ? k 确实出现，子序列的长度将等于 1 加上该属性以 x 结尾的最长子序列的长度？克。

这为这个问题提供了一个相对简单的算法。维护一个哈希表或 BST 将先前看到的值映射到子序列的最大长度，该属性以该值结束。从左到右扫描整个阵列。对于每个元素 x，计算 x ? k 并检查它是否在表中。如果是这样，记录 x 的长度为 m + 1，其中 m 是为 x 存储的长度？克。如果不是，记录 x 的长度为 1。

这需要使用 BST 的确定性时间 O(n log n) 和使用哈希表的预期时间 O(n)。