numpy.linalg.LinAlgError：尝试求解时出现奇异矩阵错误

Question

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12]])
B = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8]])
C = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
D = np.array([[1], [2], [3]])

prod_AB = np.matmul(A, B)
E = np.matmul(prod_AB, C)

x = np.linalg.solve(E, D)

Traceback (most recent call last):
  File "C:/Users/Owner.ASUS-DESKTOP/Documents/ENGR 102/Lab 10/test.py", line 11, in <module>
    x = np.linalg.solve(E, D)
  File "<__array_function__ internals>", line 5, in solve
  File "C:\Users\Owner.ASUS-DESKTOP\AppData\Local\Programs\Python\Python38\lib\site-packages\numpy\linalg\linalg.py", line 394, in solve
    r = gufunc(a, b, signature=signature, extobj=extobj)
  File "C:\Users\Owner.ASUS-DESKTOP\AppData\Local\Programs\Python\Python38\lib\site-packages\numpy\linalg\linalg.py", line 88, in _raise_linalgerror_singular
    raise LinAlgError("Singular matrix")
numpy.linalg.LinAlgError: Singular matrix

为什么这会抛出错误？我的同事使用了不同的 IDE（我使用 PyCharm，他们使用 Anaconda），程序运行没有问题。此错误与 IDE 相关吗？

Answer 1

这不依赖于 IDE。您的A矩阵是奇异的，其奇异值之一等于零。这意味着它的行列式等于零。当你乘以A得到B的矩阵也是奇异的，然后你乘以C得到E。这意味着它E也是奇异的（如果将两个矩阵相乘并且至少其中一个是奇异的，则结果始终是奇异的）。E我们可以通过查看的奇异值来确认这一点

print(np.linalg.svd(E)[1])

在我的机器上打印

[3.14537743e+03 9.15629385e-01 9.92880407e-17]

请注意，最后一个奇异值基本上为零。

然后你尝试求解系统Ex = D，但由于E是奇异的，你会得到错误numpy.linalg.LinAlgError: Singular matrix。请注意，由于E是 3x3，因此您正在尝试求解 3x3 线性方程组。由于只有 2 个不同于零的奇异值，因此矩阵秩为 2。这意味着相应的线性系统有 3 个变量，但只有两个方程。因此你没有唯一的解决方案并且np.linalg.solve失败了。

你的线性系统实际上有无限的解。虽然您不能取 的逆E，但您仍然可以求解该系统以找到解决方案之一。一种常见的方法是使用最小二乘法。不是用Ex = D最小二乘法求解，而是找到x最小化 的平方范数 2 的Ex - D。您可以使用 numpy 计算为

[3.14537743e+03 9.15629385e-01 9.92880407e-17]

我们无法确认这是一种解决方案

print(E@x)

打印

[[1.]
 [2.]
 [3.]]