`(i & (i + 1)) - 1` 是什么意思？（在芬威克树中）

Question

在学习 Fenwick Trees 时，我发现了这个实现：

来源：https : //algorithmist.com/wiki/Fenwick_tree

class Fenwick_Tree_Sum
{
    vector<int> tree;
    Fenwick_Tree_Sum(const vector<int>& Arg)//Arg is our array on which we are going to work
    {
        tree.resize(Arg.size());
        
        for(int i = 0 ; i<tree.size(); i++)
            increase(i, Arg[i]);
        
    }

    // Increases value of i-th element by ''delta''.
    void increase(int i, int delta)
    {
        for (; i < (int)tree.size(); i |= i + 1)
            tree[i] += delta;
    }

    // Returns sum of elements with indexes left..right, inclusive; (zero-based);
    int getsum(int left, int right)
    {
        return sum(right) - sum(left-1); //when left equals 0 the function hopefully returns 0
    }

    int sum(int ind)
    {
        int sum = 0;
        while (ind>=0)
        {
            sum += tree[ind];
            ind &= ind + 1;
            ind--;
        }
        return sum;
    }
};

我可以在代码中看到i |= i + 1和ind &= ind + 1; ind--。

我知道这i |= i + 1只是设置下一个未设置的位。

但是，(i & (i + 1)) - 1实际上有什么作用呢？

这里有些例子：

-------------------------------------
         i        | (i & (i + 1)) - 1
-------------------------------------
  0 - 0000000000  |  -1 - 1111111111
  1 - 0000000001  |  -1 - 1111111111
  2 - 0000000010  |   1 - 0000000001
  3 - 0000000011  |  -1 - 1111111111
  4 - 0000000100  |   3 - 0000000011
  5 - 0000000101  |   3 - 0000000011
  6 - 0000000110  |   5 - 0000000101
  7 - 0000000111  |  -1 - 1111111111
  8 - 0000001000  |   7 - 0000000111
  9 - 0000001001  |   7 - 0000000111
 10 - 0000001010  |   9 - 0000001001
 11 - 0000001011  |   7 - 0000000111
 12 - 0000001100  |  11 - 0000001011
 13 - 0000001101  |  11 - 0000001011
 14 - 0000001110  |  13 - 0000001101
 15 - 0000001111  |  -1 - 1111111111
 16 - 0000010000  |  15 - 0000001111
 17 - 0000010001  |  15 - 0000001111
 18 - 0000010010  |  17 - 0000010001
 19 - 0000010011  |  15 - 0000001111
 20 - 0000010100  |  19 - 0000010011
 21 - 0000010101  |  19 - 0000010011
 22 - 0000010110  |  21 - 0000010101
 23 - 0000010111  |  15 - 0000001111
 24 - 0000011000  |  23 - 0000010111
 25 - 0000011001  |  23 - 0000010111
 26 - 0000011010  |  25 - 0000011001
 27 - 0000011011  |  23 - 0000010111
 28 - 0000011100  |  27 - 0000011011
 29 - 0000011101  |  27 - 0000011011
 30 - 0000011110  |  29 - 0000011101

Answer 1

如果该位模式i就像是...0111，的位模式i+1会...1000。因此，i & (i+1)意味着i - (2^{number of trailing ones} - 1)并将所有尾随1s 转换为零。例如，如果i是偶数，i & (i+1)将等于i。另一方面，-1意味着将所有尾随零转换为1（包括上一步的所有尾随零）并将连续的1s 转换为零。

这样做的-1下一步，i & (i+1)将降低i由2^{number of trailing 1's}的前值i。

是什么原因？它有助于表明找到累积和的时间复杂度将是O(log n)最坏的情况。

要找到此计算背后的原因，您需要关注每个节点i将负责计算索引i到(i - (1 << r)) + 1。并且“r表示索引中设置的最后一位i”。要找到对应于 index 的总和i，我们需要对从0to 的所有相关值求和i。请注意，由于指定的属性，我们不需要对所有索引求和。因此，我们需要对索引i, i - (1 << r), ... 等进行求和。