将向量的差值转换为 0 和 1 之间

Question

我正在处理两个单位向量，但不确定如何计算。我需要它，以便如果它们指向同一方向，则答案为 1，相反方向的答案为 0，垂直（向上或向下）答案为 0.5，等等。

示例：对于两个向量 (1,0) 和 (-1,0)（因此，相反的向量），我得到的答案是 0。对于两个向量 (1,0) 和 (1/sqrt(2),1/ sqrt(2)) （因此，单位向量指向 45 度角）我得到 0.25。对于两个向量 (0,1) 和 (-1,0)（所以，垂直向量）我得到 0.5

感谢您对此的任何帮助！

Answer 1

阅读有关点积的信息一般而言，2 个向量的点积等于2 个向量之间的夹角的余弦乘以两个向量的幅度（长度）。

dot( A, B ) == | A | * | B | * cos( angle_A_B ) 

因此，2 个单位向量的点积等于2 个向量之间夹角的余弦，因为单位向量的长度是 1。

uA = normalize( A )
uB = normalize( B )
cos( angle_A_B ) == dot( uA, uB )

如果 2 个归一化向量指向同一个方向，则点积为 1，如果指向相反方向的点，则点积为 -1，如果向量垂直则点积为 0。

在 pygame 中，点积可以通过 计算math.Vector2.dot()。如果A和B是pygame.math.Vector2对象：

dot( A, B ) == | A | * | B | * cos( angle_A_B ) 

在上面的例子中，AdotB范围是 [-1.0, 1.0]。AdotB * 0.5 + 0.5在范围[0.0，1.0]和math.acos(AdotB) / math.pi + 1角度映射之间A和B直线到范围[0.0，1.0]。

此外，pygame.math.Vector2.angle_to()计算给定向量的角度（以度为单位）。取决于角度的 [0.0, 2.0] 范围内的值可以通过以下方式计算

uA = normalize( A )
uB = normalize( B )
cos( angle_A_B ) == dot( uA, uB )