如何使用 __builtin_ctz 加速二进制 GCD 算法？

Question

clang 和 GCC 有一个int __builtin_ctz(unsigned)功能。这会计算整数中的尾随零。关于这一系列函数的维基百科文章提到可以使用 加速二进制 GCD 算法__builtin_ctz，但我不明白如何。

二进制 GCD的示例实现如下所示：

unsigned int gcd(unsigned int u, unsigned int v)
{
    // simple cases (termination)
    if (u == v)
        return u;

    if (u == 0)
        return v;

    if (v == 0)
        return u;

    // look for factors of 2
    if (~u & 1) // u is even
        if (v & 1) // v is odd
            return gcd(u >> 1, v);
        else // both u and v are even
            return gcd(u >> 1, v >> 1) << 1;

    if (~v & 1) // u is odd, v is even
        return gcd(u, v >> 1);

    // reduce larger argument
    if (u > v)
        return gcd(u - v, v);

    return gcd(v - u, u);
}

我怀疑我可以使用__builtin_ctz如下：

constexpr unsigned int gcd(unsigned int u, unsigned int v)
{
    // simplified first three ifs
    if (u == v || u == 0 || v == 0)
        return u | v;

    unsigned ushift = __builtin_ctz(u);
    u >>= ushift;

    unsigned vshift = __builtin_ctz(v);
    v >>= vshift;

    // Note sure if max is the right approach here.
    // In the if-else block you can see both arguments being rshifted
    // and the result being leftshifted only once.
    // I expected to recreate this behavior using max.
    unsigned maxshift = std::max(ushift, vshift);

    // The only case which was not handled in the if-else block before was
    // the odd/odd case.
    // We can detect this case using the maximum shift.
    if (maxshift != 0) {
        return gcd(u, v) << maxshift;
    }

    return (u > v) ? gcd(u - v, v) : gcd(v - u, u);
}

int main() {
    constexpr unsigned result = gcd(5, 3);
    return result;
}

不幸的是，这还不起作用。程序的结果是 4，什么时候应该是 1。那么我做错了什么？我如何__builtin_ctz在这里正确使用？到目前为止在 GodBolt 上查看我的代码。

Answer 1

这是我从评论中得到的迭代实现：

虽然尾递归算法通常很优雅，但迭代实现在实践中几乎总是更快。（现代编译器实际上可以在非常简单的情况下执行此转换。）

unsigned ugcd (unsigned u, unsigned v)
{
    unsigned t = u | v;

    if (u == 0 || v == 0)
        return t; /* return (v) or (u), resp. */

    int g = __builtin_ctz(t);

    while (u != 0)
    {
        u >>= __builtin_ctz(u);
        v >>= __builtin_ctz(v);

        if (u >= v)
            u = (u - v) / 2;
        else
            v = (v - u) / 2;
    }

    return (v << g); /* scale by common factor. */
}

如前所述，该|u - v| / 2步骤通常被实现为非常有效的无条件右移，例如 ，shr r32除以(2)- ，因为 、(u)、(v)都是奇数，因此|u - v|必须是偶数。

这并不是绝对必要的，因为“奇怪”步骤：u >>= __builtin_clz(u);将在下一次迭代中有效地执行此操作。

假设(u)或具有“随机”位分布，则通过 的尾随零(v)的概率为 ~ 。该指令是对 Haswell、IIRC 之前的实现的改进。(n)tzcnt(1/(2^n))bsf__builtin_clz