在 2 个数组之间移动均方误差，“有效”，它们完全重叠

Question

我有一个嘈杂的方形信号，看起来像这样：

幅度是已知的。为了匹配完整的正方形，我可以创建正方形的图案并应用np.correlate以查找信号和图案最大重叠的位置。我想应用类似的方法来找到边缘，尝试与以下 2 种模式相关联：

由于相关性只不过是卷积，因此这不起作用。一半的模式等于0，0无论信号上的位置如何，这一半的卷积都会返回；而另一半-X与X振幅相等。当信号幅度最大时，与信号卷积的后半部分将是最大的。在信号图上，您可以观察到正方形并不完美，开头的幅度稍大。基本上，两种相关性都会导致正方形开始处的匹配，其中卷积最大。未检测到斜坡上升（方格末端）。

为了避免这个问题，我想使用不同的操作。因为我知道方波信号的幅度，所以我可以生成具有正确幅度的模式，在这种情况下约为-0.3。因此，我想采用该模式并将其滑过信号。在每一步，我都会计算均方误差，我的模式将与均方误差最小化位置处的信号匹配。此外，我想使用与卷积“有效”相同类型的设置，其中仅当 2 个数组完全重叠时才执行操作。

你知道另一种方法吗？和/或我应该使用哪个功能、方法？我找不到多合一的功能行np.convolve或np.correlate.

编辑：由于我在库中找不到预编码的函数，所以我用 while 循环对我的函数进行了编码。这是非常低效的......它是由这里的代码审查升级。

Answer 1

我认为用阶跃函数对信号进行卷积/关联仍然非常接近最佳解决方案，因为这类似于匹配滤波，可以证明这是最佳的（在某些条件下，噪声可能需要是高斯的）。

您遇到的唯一问题是您的模板（步骤函数）包含 DC 部分。删除它，会给你你想要的结果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# simulate the signal
signal = np.zeros(4000)
signal[200:-400] = -0.3
signal += 0.005 * np.random.randn(*signal.shape)

plt.plot(signal)
plt.title('Simulated signal')
plt.show()


# convolve with template with non-zero DC
templ = np.zeros(200)
templ[100:] = 1  # step from 0 to 1
plt.plot(np.convolve(signal, templ))
plt.title('Convolution with template with DC component')
plt.show()

# convolve with template without DC
templ_ac = templ - templ.mean()  # step from -0.5 to +0.5
plt.plot(np.convolve(signal, templ_ac))
plt.title('Convolution with template without DC component')
plt.show()

结果：

理解这一点的方法是 that convolve(signal, template) = convolve(signal, template_DC) + convolve(signal, template_AC)、 wheretemplate_DC = mean(template)和template_AC = template - template_DC。第一部分是将信号与平面模板进行卷积，该模板只是信号的平滑版本。第二部分是您想要的“边缘检测”信号。如果不减去模板的 AC 部分，则无趣的第一部分将主导有趣的部分。

请注意，模板的缩放比例并不重要，模板中的步长不必为 0.3。这只会在最终结果中产生比例因子。另请注意，此方法不依赖于步长的精确值，因此信号中较大的步长将对边缘检测产生较大影响。

如果您知道步长始终恰好为 0.3，并且您希望对不同幅度的步长不敏感，则可以对模板的信号与模板进行某种最小二乘拟合，对于模板的每个可能的移动，并且仅触发如果残差足够小，则检测边缘。这会很慢，但可能会更好地拒绝具有错误幅度的步骤。