是否有公式可以找到浮点数中指数或有效位数的位数？

Question

最近，我对在浮点数上使用位移位进行一些快速计算很感兴趣。

为了让它们以更通用的方式工作，我想让我的函数使用不同的浮点类型，可能是通过模板，不仅限于floatand double，还有“半宽”或“四倍宽”浮点数等等.

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然后我注意到：

 - Half   ---  5 exponent bits  ---  10 signicant bits
 - Float  ---  8 exponent bits  ---  23 signicant bits
 - Double --- 11 exponent bits  ---  52 signicant bits

到目前为止，我认为exponent bits = logbase2(total byte) * 3 + 2，
这意味着 128 位浮点数应该有 14 个指数位，而 256 位浮点数应该有 17 个指数位。

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然而，后来我了解到：

 - Quad   --- 15 exponent bits  ---  112 signicant bits
 - Octuple--- 19 exponent bits  ---  237 signicant bits

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那么，有没有一个公式可以找到它？或者，有没有办法通过一些内置函数来调用它？
C 或 C++ 是首选，但对其他语言开放。

谢谢。

Answer 1

通过内置函数提供的特性

C++ 通过std::numeric_limits模板提供此信息：

#include <iostream>
#include <limits>
#include <cmath>


template<typename T> void ShowCharacteristics()
{
    int radix = std::numeric_limits<T>::radix;

    std::cout << "The floating-point radix is " << radix << ".\n";

    std::cout << "There are " << std::numeric_limits<T>::digits
        << " base-" << radix << " digits in the significand.\n";

    int min = std::numeric_limits<T>::min_exponent;
    int max = std::numeric_limits<T>::max_exponent;

    std::cout << "Exponents range from " << min << " to " << max << ".\n";
    std::cout << "So there must be " << std::ceil(std::log2(max-min+1))
        << " bits in the exponent field.\n";
}


int main()
{
    ShowCharacteristics<double>();
}

示例输出：

浮点基数为 2。
有效数中有 53 个基数为 2 的数字。
指数范围从 -1021 到 1024。
所以指数字段中必须有 11 位。

C还提供了信息，通过宏定义等DBL_MANT_DIG所定义<float.h>的，但该标准定义了仅针对类型的名称float（前缀FLT）， （double），DBL和long double（LDBL），所以在C实现一个支持附加的浮点类型的名称将不可预测的。

请注意，C 和 C++ 标准中指定的指数与 IEEE-754 中描述的常用指数不同：它针对缩放为 [½, 1) 而不是 [1, 2) 的有效数进行调整，因此它是 1大于通常的 IEEE-754 指数。（上面的例子显示指数范围从 ?1021 到 1024，但 IEEE-754 指数范围是?1022 到 1023。）

公式

IEEE-754 确实提供了推荐字段宽度的公式，但它不要求 IEEE-754 实现符合这些，当然 C 和 C++ 标准不要求 C 和 C++ 实现符合 IEEE-754。交换格式参数在 IEEE 754-2008 3.6 中规定，二进制参数为：

• 对于 16、32、64 或 128 位的浮点格式，有效位宽度（包括前导位）应为 11、24、53 或 113 位，指数字段宽度应为 5、8、11，或 15 位。
• Otherwise, for a floating-point format of k bits, k should be a multiple of 32, and the significand width should be k?round(4•log₂k)+13, and the exponent field should be round(4•log₂k)?13.