使用 JiTCDDE 的意外解决方案

Question

我正在尝试使用 Python 研究以下延迟微分方程的行为：

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y\'\'(t) = -y(t)/\xcf\x84^2 - 2y\'(t)/\xcf\x84 - Nd*f(y(t-T))/\xcf\x84^2,\n

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其中f是截止函数，当其参数的绝对值在 1 到 10 之间时，它本质上等于恒等式，否则等于 0（见图 1），并且 、 和Nd是\xcf\x84常数T。

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为此，我使用 JiTCDDE 包。这为上式提供了合理的解。尽管如此，当我尝试在方程右侧添加噪声时，我得到了一个在几次振荡后稳定为非零常数的解。这不是方程的数学解（唯一可能的常数解等于零）。我不明白为什么会出现这个问题以及是否可以解决它。

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我在下面重现我的代码。这里，为了简单起见，我用高频余弦代替噪声，将其引入方程组作为虚拟变量的初始条件（余弦可以直接引入系统，但对于一般噪音这似乎不可能）。为了进一步简化问题，我还删除了涉及该函数的术语f，因为没有它也会出现问题。图 2 显示了代码给出的函数图。

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from jitcdde import jitcdde, y, t\nimport numpy as np\nfrom matplotlib import pyplot as plt\nimport math\nfrom chspy import CubicHermiteSpline\n\n\n# Definition of function f:\ndef functionf(x):\n    return x/4*(1+symengine.erf(x**2-Bmin**2))*(1-symengine.erf(x**2-Bmax**2))\n\n#parameters:\n\xcf\x84 = 42.9\nT = 35.33\nNd = 8.32\n\n# Definition of the initial conditions:\ndt = .01  # Time step.\ntotT = 10000.  # Total time.\nNmax = int(totT / dt)  # Number of time steps.\nVt = np.linspace(0., totT, Nmax)  # Vector of times.\n\n# Definition of the "noise"\nX = np.zeros(Nmax)\nfor i in range(Nmax):\n    X[i]=math.cos(Vt[i])\npast=CubicHermiteSpline(n=3)\nfor time, datum in zip(Vt,X):\n    regular_past = [10.,0.]\n    past.append((\n        time-totT,\n        np.hstack((regular_past,datum)),\n        np.zeros(3)\n        ))\nnoise= lambda t: y(2,t-totT)\n\n\n# Integration of the DDE\ng = [\n     y(1),\n     -y(0)/\xcf\x84**2-2*y(1)/\xcf\x84+0.008*noise(t)\n     ]\ng.append(0)\n\n\nDDE = jitcdde(g) \nDDE.add_past_points(past)   \nDDE.adjust_diff()\n\ndata = []\nfor time in np.arange(DDE.t, DDE.t+totT, 1):\n    data.append( DDE.integrate(time)[0] )\n\nplt.plot(data)\nplt.show()\n

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顺便说一句，我注意到即使没有噪声，解在零点似乎也是不连续的（负数时 y 设置为零），我不明白为什么。

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Answer 1

随着评论的揭晓，你的问题最终归结为：

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step_on_discontinuities假设相对于积分时间的延迟很小，并执行放置在延迟组件指向积分开始的时间上的步骤（0在您的情况下）。通过这种方式处理初始不连续性。

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totT但是，在您的情况下，使用延迟虚拟变量实现输入会给系统带来很大的延迟。\n相应的步骤step_on_discontinuities将在totT其本身，即在所需的积分时间之后。\n因此，当您进入for time in np.arange(DDE.t, DDE.t+totT, 1):代码时，DDE.t是totT\n因此，在真正开始集成和观察之前，您已经迈出了一大步，这可能看起来像是不连续性并导致奇怪的结果，特别是您看不到输入的效果，因为它已经 \xe2\x80\x9cending \xe2\x80\x9d 此时。\n要避免这种情况，请使用adjust_diff或integrate_blindly代替step_on_discontinuities。

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