怎么是自然的转变？

Question

我将使用很棒的库https://tpolecat.github.io/doobie/，它功能齐全。

我正在经历第一个例子，我已经认识到：

Transactor 是一种数据类型，它知道如何连接到数据库、分发连接并清理它们；有了这些知识，它可以转换ConnectionIO ~> IO，这给了我们一个可以运行的程序。

ConnectionIO ~> IO 是范畴论中的自然变换，但从未完全理解，究竟什么是自然变换。

但是，我知道这是从一类到另一类的转变。例如：

F[A] ~> G[A]

是从类别F到G不改变内容的自然转变。

并非一切都可以自然转化，问题是，library doobie 的作者怎么知道，他可以从 进行自然转化ConnectionIO ~> IO？

Answer 1

我知道[自然转换]是从一个类别到另一个类别的转换。

其实没有。从范畴到范畴的变换是函子（它把对象映射到对象，态射映射到态射）。自然变换是从函子到函子的变换（即它是函子范畴中的态射）。

Scala 中的类型类别是一个类别。它的对象是类型，它的态射是函数（不是函数类型）。

例如ListandOption是函子。它们将对象映射到对象（类型A到类型List[A]，类型A到类型Option[A]）和态射到态射（函数f: A => B到函数_.map(f) : List[A] => List[B]，函数f: A => B到函数_.map(f) : Option[A] => Option[B]）。

例如headOption是一个自然变换( List ~> Option)

val headOption: (List ~> Option) = new (List ~> Option) {
  def apply[A](as: List[A]): Option[A] = as.headOption
}

或在多蒂

val headOption: [A] => List[A] => Option[A] = 
  [A] => (as: List[A]) => as.headOption

Haskell 中的自然转换是什么？

有不断发展的抽象序列：

• 范畴（及其对象和态射），
• 态射的范畴（它的对象是态射，它的态射是可交换的平方），
• 范畴的范畴（它的对象是范畴，它的态射是函子），
• 函子的范畴（它的对象是函子，它的态射是自然变换），
• ...

https://github.com/hmemcpy/milewski-ctfp-pdf/releases/tag/v1.3.0

https://www.youtube.com/playlist?list=PLbgaMIhjbmEnaH_LTkxLI7FMa2HsnawM_

并非一切都可以自然转化，问题是，library doobie 的作者怎么知道，他可以从 进行自然转化ConnectionIO ~> IO？

实际上，如果您有一系列地图ConnectionIO[A] => IO[A]（A在所有类型上运行）并且该系列是使用参数多态性定义的（而不是临时多态性，即类型类，即在没有对类型附加假设的情况下定义A）=参数性，那么自然性来自参数性“免费”。这是“免费定理”之一

https://bartoszmilewski.com/2014/09/22/parametricity-money-for-nothing-and-theorems-for-free/

https://www.reddit.com/r/haskellquestions/comments/6fkufo/free_theorems/

https://ttic.uchicago.edu/~dreyer/course/papers/wadler.pdf

自由定理的好介绍