使用 `np.linalg.solve()` 计算 `AB?¹`

Question

我需要AB?¹在 Python/Numpy 中计算两个矩阵A和B（B当然是正方形）。

我知道这np.linalg.inv()可以让我计算B?¹，然后我可以乘以A。我也知道，B?¹A实际上是更好地与计算np.linalg.solve()。

受此启发，我决定AB?¹用np.linalg.solve(). 我得到了一个基于身份 的公式(AB)? = B?A?，它使用np.linalg.solve()和.transpose()：

np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose()

这似乎在做这项工作：

import numpy as np


n, m = 4, 2
np.random.seed(0)
a = np.random.random((n, n))
b = np.random.random((m, n))

print(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)))
# [[ 2.87169378 -0.04207382 -1.10553758 -0.83200471]
#  [-1.08733434  1.00110176  0.79683577  0.67487591]]
print(np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())
# [[ 2.87169378 -0.04207382 -1.10553758 -0.83200471]
#  [-1.08733434  1.00110176  0.79683577  0.67487591]]
print(np.all(np.isclose(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)), np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())))
# True

并且对于足够大的输入也会更快地出现：

n, m = 400, 200
np.random.seed(0)
a = np.random.random((n, n))
b = np.random.random((m, n))

print(np.all(np.isclose(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)), np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())))
# True

%timeit np.matmul(b, np.linalg.inv(a))
# 100 loops, best of 3: 13.3 ms per loop
%timeit np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose()
# 100 loops, best of 3: 7.71 ms per loop

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我的问题是：这个身份总是正确的还是我忽略了一些极端情况？

Answer 1

一般来说，np.linalg.solve(B, A)相当于。剩下的就是数学了。B-1A

在所有情况下，：https : //math.stackexchange.com/q/1440305/295281。(AB)T = BTAT

对于这种情况不是必需的，但对于可逆矩阵，：https : //math.stackexchange.com/q/688339/295281。(AB)-1 = B-1A-1

对于可逆矩阵，情况也是如此：https : //math.stackexchange.com/q/340233/295281。(A-1)T = (AT)-1

由此可知。只要是可逆的，在任何情况下你都应该对你提出的转换没有问题。(AB-1)T = (B-1)TAT = (BT)-1ATB