NumPy 中 exp(-x^2) 的快速傅里叶变换

Question

我必须以数值方式计算高斯函数的二阶导数：
我在这里阅读了有关该主题的每个问题，但无法得出好的结果。我选择 NumPy 作为我的首选工具。

我们教授的指示：

1. 使用 step获取x大小的数组。所以，。计算N = 128dx = 1-64, -63, ..., 62, 63f(x)
2. 执行 FFTf(x)并接收变换后的数组f_m。
3. 乘f_m​， 在哪里是虚数单位，是推导程度，
4. 执行逆 FFT 以接收导数。
5. 在某些 FFT 实现中，您可能必须进行缩放1/n（但这是现在最小的问题）

现在这是我的代码，尽可能简单。

import numpy as np

# Set some parameters
n = 128
dx = 1
a = 0.001

# Create x, calculate f(x) and its FFT
x = np.arange(-n/2, n/2) * dx
psi = np.exp(-a * x * x)
f_m = np.fft.fft(psi)

# k_m creation according to professor (point 3. in my instruction)
k_m = np.arange(-n/2, n/2, dtype=float)
k_m[:int(n / 2)] = (2 * np.pi * k_m[:int(n / 2)]) / (n * dx)
k_m[int(n / 2):] = (2 * np.pi * (k_m[int(n / 2):] - n)) / (n * dx)

# Multiply f_m by (j * k_m)^q. For q=2, this is -k_m^2
f_m *= -k_m * k_m
# Inverse FFT on the result to get the second derivative and scale by 1 / n
f_m = np.fft.ifft(f_m) / n

我无法得到的一件事是结果仍然有虚部，所以有些东西是不对的。有人可以帮忙吗？

编辑：克里斯·卢恩戈的答案有效。

Answer 1

这部分是错误的：

k_m = np.arange(-n/2, n/2, dtype=float)

步骤 3 中的说明讨论m从 0 到n-1。代码应该如下所示：

k_m = np.arange(-n/2, n/2, dtype=float)

FFT 产生一个输出，其中第一个元素（索引 0）是 0 频率，而不是 频率-n/2。

k_m如果您使用fftshift将 0 频率仓移动到数组的中间，则当前版本的数组可能是正确的，尽管我不完全确定这一点（也许-n后半部分应该被删除？）。

n最后，这里不需要除法：

f_m = np.fft.ifft(f_m) / n

NumPy IFFT 已经标准化。

并记住f_m.real在验证虚部几乎为零后绘制 （这些值应仅由于数字舍入误差而与零不同）。

例如，如果您做得a更大一点，a=0.005那么您的输入高斯完全适合输入信号，并且您不会因过滤被切断的信号而产生丑陋的边缘效应。