如何在没有类的情况下归纳证明类型相等？

Question

我试图以这样一种方式证明类型级列表的关联性，这种方式将允许我在等效类型之间进行转换而无需携带任何约束。

假设串联的标准定义：

type family (++) (xs :: [k]) (ys :: [k]) :: [k] where
  '[] ++ ys = ys
  (x ': xs) ++ ys = x ': (xs ++ ys)

假设，我得到了一个函数：

given :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy ((a ++ b) ++ c)
given = Proxy  -- Proxy is just an example

我想调用这个函数，然后使用关联性：

my :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy (a ++ (b ++ c))
my = given @k @a @b @c  -- Couldn't match type ‘(a ++ b) ++ c’ with ‘a ++ (b ++ c)’

这种类型相等确实不是微不足道的，所以编译器不理解它并不奇怪，但是我可以证明它！不幸的是，我不知道如何说服编译器我可以。

我自然的第一个想法是做这样的事情：

proof :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). (a ++ (b ++ c)) :~: ((a ++ b) ++ c)
proof = _

然后将我的功能更改为：

my :: forall k (a :: [k]) (b :: [k]) (c :: [k]). Proxy (a ++ (b ++ c))
my = case proof @k @a @b @c of Refl -> given @k @a @b @c

但是我仍然需要定义proof，为此我需要对其类型参数进行归纳。我知道在 Haskell 中对类型进行归纳的唯一方法是定义一个类型类，但是我必须将相应的约束添加到 的类型中my，这是我不想做的 - 它调用的事实given并强制结果是“实现细节”。

有没有办法在不诉诸不安全的假设的情况下证明 Haskell 中的这种类型相等？

Answer 1

不，如果没有类型类约束，您无法证明这一点，因为它不是真的。特别是，这里有一个反例：

Any ++ ([] ++ []) -- reduces to Any ++ []
(Any ++ []) ++ [] -- does not reduce

要排除 的（愚蠢的）存在Any，您必须使用没有Any实例的类型类；没有其他选择。