numpy 中余弦的真正反函数？（不是 arccos）

Question

这是一个奇怪的：

我发现自己需要一个 numpy 函数，我称之为真正的反函数np.cos（或另一个三角函数，这里使用余弦来确定）。我所说的“真逆”是一个函数invcos，这样

np.cos(invcos(x)) = x

对于任何实数浮点数 x。两个观察结果：invcos(x)存在（它是一个复杂的浮点）并且不np.arccos(x)执行该工作，因为它仅适用于.-1 < x < 1

我的问题是是否有一个有效的 numpy 函数用于此操作，或者它是否可以轻松地从现有函数构建？

我的尝试是结合使用np.arccos和np.arccosh来手动构建该函数。这是基于这样的观察：如果 1 乘以复数单位，np.arccos则可以处理 [-1,1] 内的 x，并且可以处理 [-1,1] 之外的 x。np.arccosh要查看这是否有效：

cos_x = np.array([0.5, 1., 1.5])

x = np.arccos(cos_x)
cos_x_reconstucted = np.cos(x)
# [0.5 1.  nan]

x2 = 1j*np.arccosh(cos_x)
cos_x_reconstructed2 = np.cos(x2)
# [nan+nanj 1.-0.j 1.5-0.j]

所以我们可以将其结合起来

def invcos(array):
    x1 = np.arccos(array)
    x2 = 1j*np.arccosh(array)
    print(x1)
    print(x2)
    x = np.empty_like(x1, dtype=np.complex128)
    x[~np.isnan(x1)] = x1[~np.isnan(x1)]
    x[~np.isnan(x2)] = x2[~np.isnan(x2)]
    return x

cos_x = np.array([0.5, 1., 1.5])
x = invcos(cos_x)
cos_x_reconstructed = np.cos(x)
# [0.5-0.j 1.-0.j 1.5-0.j]

这给出了正确的结果，但自然会引发运行时警告：

RuntimeWarning: invalid value encountered in arccos.

我想既然 numpy 甚至告诉我我的算法效率不高，那么它可能效率不高。有一个更好的方法吗？

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对于对这个奇怪的函数为何有用感兴趣的读者：动机来自物理背景。在某些理论中，人们可以拥有“离壳”的向量分量，这意味着这些分量甚至可能比向量更长。尽管如此，上述函数对于根据角度参数化事物还是很有用的。

Answer 1

我的问题是是否有一个有效的 numpy 函数用于此操作，或者它是否可以轻松地从现有函数构建？

是的; 这是... np.arccos。

从文档中：

对于实值输入数据类型，arccos 始终返回实数输出。对于每个无法表示为实数或无穷大的值，它会生成 nan 并设置无效浮点错误标志。

对于复值输入，arccos 是一个复数解析函数，具有分支切割 [-inf, -1] 和 [1, inf]，并且前者从上连续，后者从下连续。

所以我们需要做的就是确保输入是一个复数（即使它的虚部为零）：

>>> import numpy as np
>>> np.arccos(2.0)
__main__:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in arccos
nan
>>> np.arccos(2 + 0j)
-1.3169578969248166j

对于数组，我们需要适当的dtype：

>>> np.arccos(np.ones((3,3)) * 2)
array([[nan, nan, nan],
       [nan, nan, nan],
       [nan, nan, nan]])
>>> np.arccos(np.ones((3,3), dtype=np.complex) * 2)
array([[0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j],
       [0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j],
       [0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j]])