最长正确前缀/后缀算法为什么/如何工作？

Question

LPS（最长正确前缀，也是后缀）算法如下：

public static int[] constructLPSArray(String s) {
        int n = s.length();
        int[] arr = new int[n];
        int j = 0;
        for (int i = 1; i < n; ) {
            if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                arr[i] = j + 1;
                i++;
                j++;
            } else {
                if (j != 0) {
                    j = arr[j - 1];
                } else {
                    i++;
                }
            }
        }
        return arr;
    }

部分if (s.charAt(i) == s.charAt(j))看起来很清楚，但else部分却不清楚。我们为什么这样做：

if (j != 0) {
  j = arr[j - 1];
} else {
  i++;
}

更具体地说，为什么j = arr[j - 1]有效？或者我们为什么要这样做？我们如何验证这一步的正确性呢？

Answer 1

假设我们正在解析一个字符数组，其i位置j如下：

a b a b x x a b a b ...
      ^           ^
      j           i

持有arr：

0 0 1 2 0 0 1 2 3 4

即，直到 为止，s 的每个子串的最长前缀/后缀的长度i。您可能可以猜测它是如何从算法的其余部分生成的。现在，如果 后的下一个字符与i后的下一个字符不匹配j，

a b a b x x a b a b a ...
        ^           ^
        j           i

我们不必重试匹配，因为我们知道之前的前缀/后缀的最长前缀/后缀！查找arr[j - 1]得到 2 – 所以我们本质上缓存了此处突出显示的部分的信息

A B a b x x a b A B a ...
=== ^           === ^
    j               i

都是一样的，不需要再比较！