如何对多项式执行复杂的变量更改(在Mathematica中)

Question

我有四个变量(w,x,y和z)中的整数多项式,我知道这些变量可以写成这六个变量中的整数多项式:

• a = wz
• b = xy
• c = w ^ 3 + z ^ 3
• d = x + y
• e = w ^ 3 x + yz ^ 3
• f = w ^ 3 y + xz ^ 3

如何使用Mathematica(或者Java)轻松地对变量进行这种更改？

Answer 1

这种重写可以通过形成替换多项式的Groebner基础来完成,关于有利于在wz上使用af的可变阶数.然后使用PolynomialReduce相同的顺序重写多项式.

这是一个例子.我将从替换规则开始,这样我就可以构造一个多项式,以便我们知道预期的结果.

reprules = {a -> w*z, b -> x*y, c -> (w^3 + z^3), 
 d -> (x + y), e -> (w^3*x + y*z^3), f -> (w^3*y + x*z^3)};

现在重铸为多项式关系.

reppolys = Apply[Subtract, reprules, 1];

在这里我们创建一个例子.

poly = 
 a^2*b + 3*b^2*c^3 - 2*d*e*f + 11*b*f^2 - 5 a*d^2*e /. reprules // Expand

Out[11]= -2*w^6*x^2*y - 2*w^6*x*y^2 + 3*w^9*x^2*y^2 + 11*w^6*x*y^3 - 
  5*w^4*x^3*z - 10*w^4*x^2*y*z - 5*w^4*x*y^2*z + w^2*x*y*z^2 - 2*w^3*x^3*z^3 - 
  2*w^3*x^2*y*z^3 - 2*w^3*x*y^2*z^3 + 22*w^3*x^2*y^2*z^3 + 9*w^6*x^2*y^2*z^3 - 
  2*w^3*y^3*z^3 - 5*w*x^2*y*z^4 - 10*w*x*y^2*z^4 - 5*w*y^3*z^4 -
  2*x^2*y*z^6 + 11*x^3*y*z^6 - 2*x*y^2*z^6 + 9*w^3*x^2*y^2*z^6 + 3*x^2*y^2*z^9

形成上面提到的Groebner基础.

gb = GroebnerBasis[reppolys, {w, x, y, z, a, b, c, d, e, f}];

使用它来减少我们的输入以恢复预期结果.

PolynomialReduce[poly, 
  gb, {w, x, y, z, a, b, c, d, e, f}][[2]]

Out[12]= a^2*b + 3*b^2*c^3 - 5*a*d^2*e - 2*d*e*f + 11*b*f^2

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评论询问Groebner基地的描述.对于我自己对Mathematica功能的看法,有一篇老年TMJ文章.可以找到

http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/2179/

在与该主题相关的更好的书籍中,有UTM系列文本

Cox,Lottle和O'Shea的理想,品种和算法.

Adams和Loustaunau(AMS)对GröbnerBases的介绍也非常好.

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Daniel Lichtblau