尾数有效位

Question

我只是对尾数位有点困惑。

在我的练习考试中，我被要求将小数转换为浮点数。按照 1 个符号位、4 个指数位和 5 个尾数位计算，数字 132 根据我们的答案如下表示：

0 1110 00001

对于上面的表示，我的实际尾数位是 0000100。

由于我只给出了 5 位尾数，这是否意味着我们只计算最左边的 5 位，然后丢弃后面的任何内容？

例如，如果我有其他数字 0000101，我是否会丢弃最后两位，它仍然是 00001？谢谢你！

Answer 1

解码浮点表示

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在表示浮点数的位 0 1110 00001 中：

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• 0 是符号位s。
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• 1110 是指数域e。（这不是指数；它是指数的编码。）
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• 00001 是有效数¹字段f。（这不是有效数；它是有效数的编码。）
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这些位的解释为：

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• ^{(\xe2\x88\x921) s}中使用符号位s来给出符号。对于 0，(-1) ^{0 = +1，所以表示的数字是正数。}
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• 通过减去偏差来调整指数字段e以给出实际指数。这个问题没有说明使用什么来表示偏差，但我们可以算出它是 7，因为这就是 IEEE-754 模式的值。对于指数字段 1110（二进制为 14），实际指数为 14\xe2\x88\x927 = 7。这意味着表示的数字将按 2 ⁷缩放。
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• 只要指数字段不全为零或全一，有效数字字段f的解释方式是写入 \xe2\x80\x9c1.\xe2\x80\x9d，附加有效数字字段的位，并将其解释为二进制数字。²对于位 00001，我们有 1.00001，即 1 + 1/32。这是有效数F。
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• 总而言之，表示的数字为 (\xe2\x88\x921) ^s \xe2\x80\xa2 2 ^{e \xe2\x88\x927} \xe2\x80\xa2 F = +1 \xe2\x80\xa2 2 ⁷ \xe2 \x80\xa2 (1 + 1/32) = 128 \xe2\x80\xa2 (1 + 1/32) = 128 + 4 = 132。
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对浮点表示进行编码

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为了编码 00000101，我们不从给出的第一位开始。我们找到第一个有效数字，对于二进制来说，它是第一个 1 位。在 00000101 中，第一个 1 位位于位置 2（对应于值 2 ²）。然后，为了形成有效数，我们从那里取出六位，而不是五位。尾数字段为 5 位，但尾数为 6 位，因为对于正常范围内的数字，它包括通过指数字段编码的前导一位。在 00000101 中，有效数所需的六位是 101000。后三位是隐式的。所以有效数是 1.01000。

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为了对这个正数、指数为 2、有效数字为 1.01000 的数字进行编码，我们使用 0 作为符号位，使用 2+7 作为指数字段，使用 01000 作为有效数字字段，因此编码为 0 1001 01000。

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如果数字的前六位有效数字后面有非零位，则无法以这种浮点格式表示实际数字。在这种情况下，我们可以声明无法完成转换的错误，或者可以将数字舍入到最接近的可表示值。大多数情况下，舍入是通过将数字舍入到最接近的可表示值\xe2\x80\x94 来完成的，如果有效数后面的位以 0 开头，则向下舍入。如果它们以 1 开头并且在某处至少包含一个 1，则向上舍入。如果它们以 1 开头并且之后的所有数字都是零，则该数字位于两个可表示值之间的中间，通常的规则是选择具有偶数低位的可表示值（使有效数的最后一位为 0）。

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脚注

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¹ \xe2\x80\x9cSignificand\xe2\x80\x9d 是浮点数的小数部分（相对于指数或符号）的首选术语。\xe2\x80\x9cMantissa\xe2\x80\x9d 是对数小数部分的旧术语。尾数是对数；添加到尾数将乘以所表示的数字。有效数是线性的；有效数乘以所表示的数字。

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²如果指数字段e全为零，则它表示 1 减去偏差的指数，有效数字字段被解释为 \xe2\x80\x9c0.\xe2\x80\x9d 后跟该字段的位，而不是\xe2\x80\x9c1。\xe2\x80\x9d。

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