如何看待Python的负数按位运算？

Question

我发现很难思考 Python（和 Python3）的无限精度负数和按位运算。它不是 32 位或 64 位。1左边的 s 可以被认为是“无穷多个” 。它不是很明确，这就是为什么有时很难思考它是如何运作的。

似乎一种可行的方法是：总是让它更多，例如如果您正在处理具有 67 位的正整数，那么只需考虑它们与具有 96 位或 128 位的负数的运算即可。这是正确的思考方式吗？规格中是否有任何说明其工作原理或应考虑的内容？（比如内部实现只考虑正整数，而只考虑负数“向左多1位”？）

Answer 1

您应该将它们视为具有无限多个 1 位。抽象来说，二进制补码表示有无限多个1；并不是说可以根据需要添加更多的 1，而是这些 1已经成为数字表示方式的一部分。

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事实上，那些无限多的位实际上并未存储在内存中，这是一个实现细节，因此，当您考虑这一点时，您应该忽略内存的限制，直到您遇到必须这样做的情况。写出实现。如果您只是想从概念上理解这一点，则不需要考虑诸如后备位之类的事情，而且我认为这不一定有帮助。

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二进制数表示 2 的幂之和，例如：

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11001 ₂ = 2 ⁴ + 2 ³ + 0 + 0 + 2 ⁰

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数字 -1 由无限的 1 序列表示，向左无限延伸：

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...1111 ₂ = ... + 2 ³ + ^{2 2} + 2 ¹ + 2 ⁰

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这对于通常意义上的无穷级数来说是无稽之谈，但有充分的理由将结果定义为 -1。最直观地吸引人的原因是当你按照加法算法将 1 添加到它时会发生什么：

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  ...111111111\n+            1\n  \xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\n= ...000000000 (result)\n  \xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\xe2\x80\x95\n  ...11111111  (carry)\n

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在最右边的列中，您有 1 + 1，即 2，或二进制的10 _{2 ，因此您写入 0 并将 1 传送到左侧的下一列。}然后在该列中你有一个 1 加上进位 1，所以你写 0 并进位另一个 1...等等，无穷无尽。结果每个位置都有 0。因此，...11111 ₂一定代表 -1，因为我们按照算法加 1，得到了 0 的表示。

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如果这还不够令人满意，那么还有其他原因......11111 ₂应该被解释为 -1 的表示：

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• 无限和 1 + 2 + 4 + 8 + ... 是一个几何级数；具有恒定比率 r 的几何级数的公式为 1/(1 - r)。该公式仅适用于 -1 < r < 1 时，但如果我们无论如何代入 r = 2，那么我们确实会得到结果 -1。
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• 无限和 1 + 2 + 4 + 8 + ... 实际上在2-进范数中收敛到 -1 。
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• 结果 -1 也可以通过包括欧拉求和在内的其他定义获得，并且正如维基百科所述，任何既稳定又线性的求和方法都会将该和与结果 \xe2\x88\x9e 或 -1 相关联。
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我提到这些还因为它们暗示某些性质对于算术仍然成立。应用“无穷大”的加法、减法和乘法的常用算法可以给出符合算术常用属性（如结合性、交换性和分配性）的合理结果。

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