使用 julia 计算特征向量时失去对称性

Question

有人能指出为什么 Julia 在对某些类型的矩阵进行对角化时会失去对称性吗？（在下面我将忽略归一化常量。）我一直在尝试解决以下 Floquet 矩阵：

U[i,i] = exp(-i^2im/N),

与N基体和其它部件的尺寸是零。显然，这是哈密顿量的“时间演化”

H = p^2/2.

这H是在奇偶校验下对称的，因此U在站点基础上Us = Udft'U*Udft（Udft是离散傅立叶矩阵 stUdft[m,mp] = sqrt(N)^-1 exp(i*j*1im/N)见下文），也就是说，可以检查

Jp*Us - Us*Jp = 0,

在哪里

Jp[i,j] = \delta_{i,N-j+1}

是空间求逆矩阵。然而，本征态不满足奇偶性。如果vs是 的本征态Us，则

Jp*vs = \pm vs,

对于 julia 给出的数值结果，这不会发生。这有点奇怪，因为对于低维，说N=11没有问题，但如果我去，说N=1001然后麻烦开始出现。（在某些条件下，我想N成为奇数。原因是我有粒子被限制在单一圆上移动，并且我希望这些位置围绕零角对称。）为了对角化，我使用Julia 1.2.0和

 LinearAlgebra.eigen(Us).

附录：感谢 SGJ 指出 DFT 中的明显错误。构造矩阵我做

M = div(N,2)
m = 1
for ii in -M:M
    mp = 1
    for jj in -M:M
        U[m,mp] = exp(2.0im*pi*ii*jj/Nsites) #                             
        mp += 1
    end
    m += 1
end

使正和负频率的DFT输入和选自对称围绕动量零-N/2到N/2其中整数除法被使用。

Answer 1

首先，舍入误差通常会稍微破坏对称性，因此与镜像对称性的微小差异（相对误差norm(Jp*vs - \xc2\xb1vs)/norm(vs) < 1e-12）不应成为问题。

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其次，p^2算子的能量特征值是双简并的（左行波和右行波具有相同的能量），并且简并态的宇称性不能通过对称性来保证。简并偶数和奇数本征函数（=驻波）的任何线性组合也是本征函数，因此您可以制作非对称本征函数（例如左行波而不是驻波）。当你有简并性时，正确的说法是你可以选择一个本征函数基，它也是奇偶本征函数。然而，Julia 的eigen操作（标准 LAPACK 算法）基本上为退化特征空间选择了“随机”基础，因此它不一定是您想要的。

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第三，看起来您没有正确使用离散傅里叶变换（DFT）。您本质上是使用 DFT 在平面波（动量空间）基础上表达二阶导数运算符 (p^2)，但您发布的答案忘记了别名 \xe2\x80\x94 您确实需要同时拥有两者存在正频率和负频率。也就是说，一半术语的频率应与 成正比i-1（由于 Julia 的基于 1 的索引），另一半与 成正比N+1-i。许多来源对此进行了详细解释，例如这些注释。

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