haskell - hypepeperation(ackermann)功能,tetration

Question

我正在尝试在haskell中编写一个hyperoperation函数.

它通常是写的,ackermann(a,b,n)但对于部分应用目的,我认为n放在第一位更有意义.因此,我称之为hypOp n a b

我发现最自然的形式折叠ao replicate列表如下:

Prelude> replicate 3 5
[5,5,5]
Prelude> foldr1 (*) $ replicate 3 5
125

根据折叠的函数参数,这可以是加法,多重,取幂,四元组等.

非正式概述:

hypOp 0 a _ = succ a
hypOp 1 a b = a + b = foldr1 (succ a) (replicate b a) --OFF BY ONE ISSUES, TYPE ISSUES
hypOp 2 a b = a * b = foldr1 (+) $ replicate b a
hypOp 3 a b = a ^ b = foldr1 (*) $ replicate b a
hypOp 4 a b = = foldr1 (^)

出于联想的原因,我的印象是我必须使用正确的折叠,这是不幸的,因为左折叠(foldl')的严格性是有用的.

右侧与左侧折叠问题

Prelude> foldl1 (^) $ replicate 4 2 --((2^2)^2)^2 = (4^2)^2 = 16^2 = 256 != 2 tetra 4
256
Prelude> foldr1 (^) $ replicate 4 2 --(2^(2^(2^2))) = 2^16 = 65536 == 2 tetra 4
65536

当我开始使用后继函数时,我会得到一个一个一个问题.所以我使用(+)作为我的基础折叠的函数

Prelude> let add a b = foldr1 (\a b -> succ b) $ replicate b a
Prelude> add 5 4
8
Prelude> add 10 5  --always comes out short by one, so i cant build off this
14

前几个n值,"手动"完成:

Prelude> let mul a b = foldr1 (+) $ replicate b a
Prelude> let exp a b = foldr1 mul $ replicate b a
Prelude> let tetra a b = foldr1 exp $ replicate b a
Prelude> let pent a b = foldr1 tetra $ replicate b a
Prelude> let sixate a b = foldr1 pent $ replicate b a
Prelude> mul 2 3 --2+2+2
6
Prelude> exp 2 3 --2*2*2
8
Prelude> tetra 2 3 --2^(2^2)
16
Prelude> pent 2 3 --2 tetra (2 tetra 2) 
65536
Prelude> sixate 2 3
*** Exception: stack overflow

我通过上述方法尝试正式定义:

hypOp :: Int -> Int -> Int -> Int
hypOp 0 a b = succ a
hypOp 1 a b  =  (+) a b  --necessary only bc off-by-one error described above
hypOp n a b = foldr1 (hypOp $ n-1) (replicate b a)

其他尝试twith递归数组(没有任何显着的不同):

let arr = array (0,5) ( (0, (+)) : [(i, (\a b -> foldr1 (arr!(i-1)) (replicate b a)) ) | i <- [1..5]])
-- (arr!0) a b makes a + b
-- (arr!1) a b makes a * b, etc.

所以我的问题是......

1. 任何一般性的建议,不同的appraoches功能？我似乎无法找到一种方法来避免溢出,除了使用非常"命令"的风格,这不是我的意图使用haskell并尝试以惯用的风格编码
2. 如何处理我的一个一个问题,以便我可以在最底层开始'正确' succ
3. 严格和左右折叠.有办法seq吗？我可以用某种方式foldl1'代替foldr1并避免上述问题？

Answer 1

1. 请参见第 3 点。虽然以这种方式定义这些操作是可行的，并且可以在没有溢出的情况下完成，但这是一种效率极低的方法。您的运行时间与答案是线性的，因为您最终会进行重复加法。

2. 你之所以得到差一的原因基本上是因为你使用的是身份foldr1 f而不是foldr f身份。

   foldr (+) 0 [a, a, a] = a + (a + (a + 0)))
   foldr1 (+) [a, a, a]  = a + (a + a)
   

   +请注意，在 的情况下少了一个 的应用foldr1。

3. 简单地将参数的顺序更改为 怎么样(^)？这样，您可以使用左折叠：

   Prelude Data.List> foldl1 (flip (^)) $ replicate 4 2
   65536
   

   现在您可以使用严格版本foldl1'. 它不再溢出，但效率当然极低。