时间复杂度嵌套循环内循环+外循环

Question

谁能解释一下这个算法的时间复杂度是多少？

for (i = 1; i <= n; i++){
    for(j = 1; j <= n; j += i) {   // note: not j++
        printf("Iteration %d : %d\n", i, j);   
    }
}

Answer 1

该printf内部循环被称为正好 ceil(n) + ceil(n/2) + ceil(n/3) + ... ceil(n/n)倍。为了去掉ceil，我们知道ceil(y/n)是由 上界的y/n + 1，所以我们知道执行的次数是>= n + n/2 + n/3 ... n/n但是是< n + 1 + n/2 + 1 + n/3 + 1 + n/4 + 1... + n/n + 1。前者可以分解为n(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ... 1/n)，后者可以重构为n(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ... 1/n) + n。

后一个因子是无穷大的第一个加数，是发散的谐波级数。k已知来自维基百科页面的第一项的总和是有界的：

这意味着1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ... 1/n是?(ln n) = ?(log n)；我们可以为printf被调用的次数给出严格的界限 ( c(n): n log n <= c(n) < n log n + 2n。由于n log n增长速度比 快2n，我们只能保留前者并注意两个界限都属于?(n log n)也因此c(n)属于?(n log n)(?(F)意味着函数是?(F)和O(F))。