比较三个变量的数学方法

Question

在Java中，我被分配以比较两个3个正双变量，而忽略它们的顺序。我做了以下事情：

if ((a1 == a2 && b1 == b2 && c1 == c2) ||
    (a1 == a2 && b1 == c2 && c1 == b2) ||
    (a1 == b2 && b1 == a2 && c1 == c2) ||
    (a1 == b2 && b1 == c2 && c1 == a2) ||
    (a1 == c2 && b1 == a2 && c1 == b2) ||
    (a1 == c2 && b1 == b2 && c1 == a2))
    // if true

我从老师那里听说，有一种数学方法可以比较这对3个数字。

到目前为止，我试图将它们的加，减，乘幂之和与2进行比较，但是我总是发现这样的情况，即该对是不同的，并且陈述是正确的。

有任何想法吗？

编辑：

我已经发送了作业，老师说我的回答是正确的。我出于好奇而问。

Answer 1

TL; DR

比较每个三元组的总和，每个三元组的乘积以及每个三元组的所有可能组合的乘积之和。

坚韧不拔

根据代数基本定理，对于阶数为N的多项式，我们必须有N个根。

利用这个事实，我们让零成为a1, a2, and a3。现在，我们找到该多项式的系数。

(x - a1) * (x - a2) * (x - a3)
(x^2 - (a1 + a2) * x + a1a2) * (x - a3) 
x^3 - (a1 + a2) * x^2 + (a1a2) * x - a3 * x^2 + (a1a3 + a2a3) * x - a1a2a3

x^3 + (-1 * (a1 + a2 + a3)) * x^2 + (a1a2 + a1a3 + a2a3) * x + (-1 * a1a2a3)

如果两个多项式是等价的，则它们必须具有相同的根（FTA同样）。因此，我们要做的就是比较生成的多项式的系数。

因此，如果，

(-1 * (a1 + a2 + a3) == (-1 * (b1 + b2 + b3))
      ---equivalently---
a1 + a2 + a3 == b1 + b2 + b3

和

(a1a2 + a1a3 + a2a3) == (b1b2 + b1b3 + b2b3)

和

-1 * a1a2a3 == -1 * b1b2b3
      ---equivalently---
a1a2a3 == b1b2b3

然后，我们可以得出三元组a1, a2, a3，b1, b2, b3它们是等效的。

这值得么？

从实际的角度来看，让我们看一下这是否确实比OP所示的蛮力检查更有效。

首先检查：求和与比较。这总共需要4次加法和1次检查是否相等。

检查总数= 5；跑步总数= 5

第二次检查：乘积，求和和比较。这需要6次总乘法，4次总加法和1次相等检查。

检查总数= 11; 跑步总数= 16

第三项检查：乘积和比较。这需要4次总乘法和1次相等检查。

检查总数= 5；跑步总数= 21

将两个逻辑“与”运算相加，“生成的多项式方法的系数”的二进制运算总数仅需要：

23个二进制操作

蛮力检查需要进行18项相等性检查，12项逻辑AND比较和5项逻辑OR比较，总共需要：

35个二元运算

因此，严格来说，答案是肯定的，“所生成的多项式方法的系数”确实更有效。但是，正如@WJS指出的那样，蛮力方法有更多的短路机会，因此比数学方法执行效率更高。

彻底彻底

我们不能跳过检查每个三元组所有可能组合的乘积之和。如果我们忽略这一点，那么有很多例子会失败。考虑(23, 32, 45)和(24, 30, 46)^*：

23 + 32 + 45 = 100
24 + 30 + 46 = 100

23 * 32 * 45 = 33120
24 * 30 * 46 = 33120

它们不相等，但给出相同的总和和积。但是，它们给出的所有可能组合的乘积之和不相同：

23 * 32 + 23 * 45 + 32 * 45 = 3211
24 * 30 + 24 * 46 + 30 * 46 = 3204

^*如果想知道如何得出与上述示例相似的示例，请首先生成长度为3 的整数M的所有整数分区，取其乘积，查找重复项，然后选择一对。