查找最小的产品总和而不更改订单

Question

我有两个不相等的长度数组：

A = np.array([7,6,5,4,3,2,1])
B = np.array([37.97, 34.45, 32.41, 32.17, 35.48, 35.91, 33.81, 32.23, 33.46,
       35.35, 33.03, 37.36, 32.18, 29.29, 30.23, 30.94, 34.26, 31.74,
       29.24, 25.93, 29.26, 33.64, 33.28])

我需要从B中选择7个数字，以使A的点积最小或min(7x1 + 6x2 + 5x3 +...+2x6 + x7)。两个阵列的顺序不能改变，例如，如果x1 = 32.41 (index 2)，x2一定不能是以前的索引。

A和B的长度实际上比示例中的大，因此我在寻找一种有效的算法而不是蛮力。

编辑：通过不更改顺序，我的意思是，如果我选择索引2处的元素，则下一个可能是索引5或10，但不是索引0或1。它们不需要像索引2、3、4， 5 ....

更新答案： 所以这是我到目前为止基于@templatetypedef和@Damien答案所做的事情：

def min_dot_product(A,B,m,n):
    P = np.zeros((n,m))
    A_ = np.zeros((n,m))
    B_ = np.zeros((n,m))
    #P[0,0] = 0 
    P[1,1] = A[1]*B[1]
    S[1,1] = 1
    for k in range(2,m):
        P[1,k] = np.inf
    for i in range(2,n):
        P[i,0] = 0
        for k in range(1,m):
            P[i,k] = min (P[i-1,k], P[i-1,k-1] + B[i] * A[k])    
            if (P[i-1,k] > P[i-1,k-1] + B[i] * A[k]):
                A_[i,k] = A[k]
                B_[i,k] = B[i]
                S[i,k] = 1

    return P,A_,B_,S

A = np.array([0,7,6,5,4,3,2,1]) # -> Insert 1 dummy value at the first position
B = np.array([0,37.97, 34.45, 32.41, 32.17, 35.48, 35.91, 33.81, 32.23, 33.46,
       35.35, 33.03, 37.36, 32.18, 29.29, 30.23, 30.94, 34.26, 31.74,
       29.24, 25.93, 29.26, 33.64, 33.28]) # -> Insert 1 dummy value at the first position
m = len(A)
n = len(B)
mat,A_,B_,S = min_dot_product(A,B,m,n)

Out:
mat
array([[  0.  ,   0.  ,   0.  ,   0.  ,   0.  ,   0.  ,   0.  ,   0.  ],
       [  0.  , 241.15,    inf,    inf,    inf,    inf,    inf,    inf],
       [  0.  , 226.87, 435.61,    inf,    inf,    inf,    inf,    inf],
       [  0.  , 225.19, 419.89, 596.46,    inf,    inf,    inf,    inf],
       [  0.  , 225.19, 419.89, 596.46, 738.38,    inf,    inf,    inf],
       [  0.  , 225.19, 419.89, 596.46, 738.38, 846.11,    inf,    inf],
       [  0.  , 225.19, 419.89, 588.94, 731.7 , 839.81, 913.73,    inf],
       [  0.  , 225.19, 418.57, 581.04, 717.86, 828.39, 904.27, 945.96],
       [  0.  , 225.19, 418.57, 581.04, 714.88, 818.24, 895.31, 937.73],
       [  0.  , 225.19, 418.57, 581.04, 714.88, 818.24, 888.94, 930.66],
       [  0.  , 225.19, 418.57, 581.04, 713.16, 813.97, 884.3 , 921.97],
       [  0.  , 225.19, 418.57, 581.04, 713.16, 813.97, 884.3 , 921.66],
       [  0.  , 225.19, 418.27, 579.47, 709.76, 809.7 , 878.33, 916.48],
       [  0.  , 205.03, 400.93, 564.72, 696.63, 797.63, 868.28, 907.62],
       [  0.  , 205.03, 386.41, 552.08, 685.64, 787.32, 858.09, 898.51],
       [  0.  , 205.03, 386.41, 541.11, 675.84, 778.46, 849.2 , 889.03],
       [  0.  , 205.03, 386.41, 541.11, 675.84, 778.46, 846.98, 883.46],
       [  0.  , 205.03, 386.41, 541.11, 668.07, 771.06, 841.94, 878.72],
       [  0.  , 204.68, 380.47, 532.61, 658.07, 755.79, 829.54, 871.18],
       [  0.  , 181.51, 360.26, 510.12, 636.33, 735.86, 807.65, 855.47],
       [  0.  , 181.51, 357.07, 506.56, 627.16, 724.11, 794.38, 836.91],
       [  0.  , 181.51, 357.07, 506.56, 627.16, 724.11, 791.39, 828.02],
       [  0.  , 181.51, 357.07, 506.56, 627.16, 724.11, 790.67, 824.67]])

A_
array([[0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 7., 6., 0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 7., 6., 5., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 4., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0., 3., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 5., 4., 3., 2., 0.],
       [0., 0., 6., 5., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1.],
       [0., 0., 6., 5., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 7., 6., 5., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 0., 6., 5., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 5., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 7., 6., 5., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 7., 6., 5., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 0., 6., 5., 4., 3., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 0., 0., 2., 1.]])

B_
array([[ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  , 32.41, 32.41,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  , 32.17, 32.17, 32.17,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 35.48,  0.  ,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 35.91,  0.  ,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  , 33.81, 33.81, 33.81, 33.81,  0.  ],
       [ 0.  ,  0.  , 32.23, 32.23, 32.23, 32.23, 32.23, 32.23],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 33.46, 33.46, 33.46, 33.46],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 35.35, 35.35],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 33.03, 33.03, 33.03, 33.03],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 37.36],
       [ 0.  ,  0.  , 32.18, 32.18, 32.18, 32.18, 32.18, 32.18],
       [ 0.  , 29.29, 29.29, 29.29, 29.29, 29.29, 29.29, 29.29],   x7
       [ 0.  ,  0.  , 30.23, 30.23, 30.23, 30.23, 30.23, 30.23],   x6
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  , 30.94, 30.94, 30.94, 30.94, 30.94],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 34.26, 34.26],
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 31.74, 31.74, 31.74, 31.74],
       [ 0.  , 29.24, 29.24, 29.24, 29.24, 29.24, 29.24, 29.24],   x5
       [ 0.  , 25.93, 25.93, 25.93, 25.93, 25.93, 25.93, 25.93],   x4
       [ 0.  ,  0.  , 29.26, 29.26, 29.26, 29.26, 29.26, 29.26],   x3
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 33.64, 33.64],   x2
       [ 0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  ,  0.  , 33.28, 33.28]])  x1

所以min = P [n-1] [m-1] = 824.67 = [7,6,5,4,3,2,1] * [33.28,33.64,29.26,25.93,29.24,30.23,29.29]

反转A_和B_：

def reverse(S,A_,B_):
    n,m = S.shape
    state = m-1
    pos = []
    if state >= 0:
        for i in range(n-1,0,-1):
            if (S[i][state] == 1):
                state = state - 1
                pos.append([i,state+1])

    new_B = np.zeros(B_.shape)
    new_A = np.zeros(A_.shape)
    for p in pos:
        new_B[p[0],p[1]] = B_[p[0],p[1]]
        new_A[p[0],p[1]] = A_[p[0],p[1]]

    return new_B,new_A

Answer 1

您在此处解决的问题具有以下形式：

给定两个长度为m和n的序列A和B以及一个数字k，找出长度为m的B的子序列与A的点积最低。

在您最初的问题中，我们有m = 7，但更一般地说，我想可以用任何数字代替7。

这个问题有一个不错的动态编程解决方案。其背后的直觉如下。假设您从数组B中选取了一些数字作为m元素向量的第一个元素。然后，您需要确定剩余的m-1个元素是什么。如果考虑一下，则希望选择它们，以便使m-1个元素与A的最后m-1个元素的点积尽可能小。因此，问题就变成了“您如何确定第一个项目应该是什么”和“如何选择后续项目？”。

一种方法是使用递归搜索。这个想法是这样的：

• 如果B的长度等于A的长度，则别无选择，只能依次选择B的每个元素。
• 否则，您可以选择。一个选择是排除B的第一个元素。如果这样做，则必须从B的其余元素中选择m个元素，以便获得与A最小的点积。另一个选择是选择B的第一个元素。 B，这意味着您希望从B的其余部分中选择m-1个元素，目的是使A的m-1个尾部元素的点积最小化。因此，请评估这两个选项，然后取其中一个更好。

这种方法可以工作，但是按照书面说明，它太慢了，无法实用。幸运的是，它恰好可以很好地转换为动态编程解决方案。请注意，每个递归调用都可以构造为解决以下形式的问题：

给定索引i到A和索引j到B，从位置j开始的B子序列和从位置i开始的A的子向量可以形成的最小点积是多少？

在这里，i和j只能接受O（mn）个可能的值，因此我们可以像填写此大小的表一样处理此问题。具体来说，让T [i，j]作为我们的表。我们将其填写如下：

• 如果i = m，则T [i，j] = 0。也就是说，如果我们不允许使用A的任何元素，则点积将为零的空和。
• 如果n-j <m-i，则T [i，j] =无限大。也就是说，如果B中剩余的元素少于A中剩余的元素，那么我们甚至无法形成点积，因此我们只能假装答案是“这么大的东西，您永远都不会选择它。”
• 否则，T [i，j] = min（T [i，j + 1]，A [i] * B [j] + T [i + 1，j + 1]）。也就是说，我们有两种选择：不将B的第j个元素包括在向量中，在这种情况下，我们必须在位置j + 1处的B子数组中查找要选择的元素；或包含B的第j个元素（将与点积中A的第i个元素相乘），然后最小化剩余的元素。

填写每个表项需要时间O（1），因此我们可以在时间O（mn）中填充表。从那里，我们可以使用标准的DP表格遍历算法来重构要包含的确切项目集。（我们实际上可以通过注意以下事实来加快速度，因为我们需要长度为B的B子序列，由于m ²个元素将是无穷大，因此我们不需要填写整个表，因此可以跳过填写。这给出了O（m（n-m + 1）））的运行时间。