sympy 中具有可变指数的展开多项式

Question

我对 sympy 不太有经验，所以很抱歉，如果这是一个简单的问题。

如何使用 sympy 来展开二项式表达式？例如，假设我想让 sympy 计算多项式 $(x^2 + x + 1)^n$ 中 $x^2$ 的系数（我期望答案为 $n + \binom{n} {2}$）。

我尝试了以下代码：

x = symbols('x')
n = symbols('n', integer=True, nonnegative = True)
expand((x**2+x+1)**n)

但结果只是 $(x^2+x+1)^n$ 而我想要二项式展开，即。

提前致谢。

Answer 1

如果指数不是符号性的，那么下面很快给出具有整数系数的任意多项式的幂的系数，例如，

>>> eq
x**3 + 3*x + 2
>>> (Poly(eq)**42).coeff_monomial(x**57)
2294988464559317378977138572972

但如果多项式的指数是符号的话，目前还没有例程来指示系数。rsolve如果系数中也可以看到模式，也可以用于表达封闭形式：

>>> print([((x**2+x+1)**i).expand().coeff(x**2) for i in range(8)])
[0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28]
>>> from sympy.abc import n
>>> f=Function('f') # f(n) represents the coefficient of x**2 for a given n

x^2给定的系数n大于n最后一个值：

>>> rsolve(f(n)-f(n-1)-n, f(n),{f(0):0,f(1):1})
n*(n + 1)/2

x^2最终的表达式是任意 的系数n。

Issue 17889给出了一个例程，该例程将计算单变量多项式中的一项系数（每项具有任意系数）的 n 次方：

>>> eq = 2 + x + x**2
>>> unicoeff(eq, 4).simplify()
Piecewise(
    (0, n < 2),
    (2**(n - 3)*n*(n - 1), n < 3),
    (2**(n - 4)*n**2*(n - 1), n < 4),
    (2**n*n*(n - 1)*(n**2 + 19*n + 6)/384, True))
>>> _.subs(n, 5)
210
>>> (eq**5).expand().coeff(x**4)
210

对于您的表达式（其中常数为 1）：

>>> unicoeff(1+x+x**2,2).simplify()
Piecewise((0, n < 1), (n, n < 2), (n*(n + 1)/2, True))