为什么在python 3.8中sqrt（x * x + y * y）！= math.hypot（x，y）？

Question

我正在尝试在闪亮的新Python 3.8上进行一些测试，并注意到的问题math.hypot。从文档：

对于二维点(x, y)，这等效于使用勾股定理来计算直角三角形的斜边 sqrt(x*x + y*y)。

但是，这些在3.8中并不等效：

>>> from math import hypot, sqrt
>>> x, y = 95, 168
>>> sqrt(x*x + y*y), hypot(x, y), sqrt(x*x + y*y) == hypot(x, y)
(193.0, 193.00000000000003, False)
>>> sqrt(x*x + y*y).is_integer(), hypot(x, y).is_integer()
(True, False)

在3.7中，两种方法都产生完全相同的结果（"193.0"，它被认为是整数）。

Answer 1

该函数hypot提供了数学表达式α（x ² + y ²）的另一近似值，就像浮点表达式是该相同数学表达式的近似值一样。^{sqrt(x*x + y*y)}

hypot建议使用此功能，因为它可以解决浮点计算中sqrt(x*x + y*y)存在的非常大或非常小的值的非常明显的缺陷。例如，如果x仅比最大有限浮点值的平方根大一点，则sqrt(x*x + y*y)始终产生，+inf因为x*x产生+inf。

比较：

>>> x, y = 95E200, 168E200
>>> sqrt(x*x + y*y), hypot(x, y)
(inf, 1.93e+202)
>>> z, t = 95E-200, 168E-200
>>> sqrt(z*z + t*t), hypot(z, t)
(0.0, 1.93e-198)

对于这两个（分别非常大和非常小的）输入对，hypot它做的很好，而sqrt(x*x + y*y)灾难性的是错误的。

当幼稚的版本sqrt(x*x + y*y)效果相当好（当值x以及y既不是非常大的，也非常小），也可以是可能比功能或多或少准确hypot依据的价值观x和y。可以期望它们都产生与数学结果相差几个ULP的结果。但是，由于它们是通过不同方法获得的不同近似值，因此它们可能会有所不同（最坏的情况是两次“几个ULP”）。

一种典型的实现方式hypot(x, y)是，先进行交换，x并y在必要时将其交换x为最大数量，然后进行计算x * sqrt(1 + (y/x)*(y/x))。这解决了x*x溢出问题。作为副作用，这意味着即使没有溢出，结果也与略有不同sqrt(x*x + y*y)。

请注意，这是正常的，sqrt(x*x + y*y)是当你把它应用到小整数更精确的（如你在测试做）：当x和y小整数，x*x并y*y和它们的和可以精确计算浮点值。如果此和是整数的平方，则浮点函数sqrt只能计算该整数。简而言之，在这种情况下，尽管是浮点运算，但计算从头到尾都是精确的。相反，hypot以上的典型实现是从计算开始的x/y（在测试中为95.0/168.0），并且此结果通常不能完全表示为浮点值。第一步已经产生了一个近似值，这个近似值可能导致最终结果是错误的（就像在测试中一样）！

没有标准算法可用于hypot：仅期望计算出数学表达式？（x ² + y ²）的近似值，同时避免了上溢和下溢问题。这篇文章显示了不同的实现，并指出了流行的实现，我提到的牺牲精度以避免溢出和下溢（但文章也提供了浮点执行情况hypot是更准确比sqrt(x*x + y*y)即使sqrt(x*x + y*y)作品）。