Haskell中Curry的悖论？

Question

Curry的悖论 （以与当前编程语言相同的人命名）是一种错误逻辑的构造，它允许人们证明任何东西。

我对逻辑一无所知，但是有多难？

module Main where

import Data.Void
import Data.Function

data X = X (X -> Void)

x :: X
x = fix \(X f) -> X f

u :: Void
u = let (X f) = x in f x

main :: IO ()
main = u `seq` print "Done!"

它肯定会循环。（GHC如何知道？！）

% ghc -XBlockArguments Z.hs && ./Z
[1 of 1] Compiling Main             ( Z.hs, Z.o )
Linking Z ...
Z: <<loop>>

 

• 这是忠实的翻译吗？为什么？
• 我可以在没有fix递归的情况下做同样的事情吗？为什么？

Answer 1

库里悖论的编码看起来更像是这样的：

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> f x')

X确实可以理解为“如果X为真，则存在矛盾”这句话，或者等效地，“X为假”。

但用fix证明来证明X并没有什么实际意义，因为fix作为推理原则是明显错误的。库里的悖论更加微妙。

你实际上如何证明X？

x :: X
x = _

X是一个条件命题，所以你可以先假设它的前提来得出它的结论。此逻辑步骤对应于插入 lambda。（建设性地，蕴涵的证明是从前提证明到结论证明的映射。）

x :: X
x = X (\x' -> _)

但现在我们有了一个假设x' :: X，我们可以再次展开 的定义X得到f :: X -> Void。在 Curry 悖论的非正式描述中，没有明确的“展开步骤”，但在 Haskell 中，它对应于 newtype 构造函数上的模式匹配 whenX是假设，或者应用构造函数 whenX是目标（事实上，正如我们上面所做的那样） ）：

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> _)

最后，我们现在有了f :: X -> Void和x' :: X，因此我们可以Void通过函数应用推导出：

x :: X
x = X (\x'@(X f) -> f x')