幺半群同态和同构

Question

我正在阅读“Scala 编程”一书（红皮书）。

在关于 Monoids 的章节中，我理解了 Monoid 同态是什么，例如：M具有串联和length函数的 String Monoidf保留了Monoid结构，因此是同态的。

M.op(f(x), f(y)) == M.op(f(x) + f(y))
// "Lorem".length + "ipsum".length == ("Lorem" + "ipsum").length

引用这本书（根据记忆，如果我错了，请纠正我：

当这在两个方向上发生时，它被命名为 Monoid isomorphisim，这意味着对于 monoidsM, N和函数f, g，f andThen g和g andThen f是identity函数。例如StringMonoid 和List[Char]Monoid with concatenation 是同构的。

但我不能看到看到这一个实际的例子，我只能想到f的length功能，但会发生什么g？

注意：我看过这个问题：What are isomorphism and homomorphisms。

Answer 1

要查看 和 之间的同构String，List[Char]我们有toList: String -> List[Char]和mkString: List[Char] -> String。

length 是从字符串幺半群到带加法的自然数幺半群的同态。

字符串幺半群的内同态的几个例子是toUpperCase和toLowerCase。

对于列表，我们有很多同态，其中许多只是fold.