使用快速傅立叶变换生成相关的随机势

Question

我想使用指定的自相关函数在1D或2D空间中生成随机势，并且根据一些数学推导（包括Wiener-Khinchin定理和傅里叶变换的性质），事实证明可以使用以下方程式完成此操作： 其中phi(k)均匀分布在间隔[0，1）中。并且该功能满足，以确保产生的电势始终是真实的。自相关函数不应影响我在这里所做的事情，我采用简单的高斯分布。

相项和条件的选择phi(k)基于以下属性

1. 相位项的模数必须为1（通过维纳-欣钦定理，即函数自相关的傅立叶变换等于该函数的傅立叶变换的模数）；

2. 实函数的傅立叶变换必须满足 （通过直接检查整数形式的Fourier变换的定义）。

3. 产生的电势和自相关都是真实的。

通过结合这三个属性，该术语只能采用上述形式。

有关相关数学，您可以参考以下pdf的第16页：https : //d-nb.info/1007346671/34

我使用均匀分布随机生成了一个numpy数组，并将该数组的负数与原始数组连接在一起，从而使其满足上述条件phi(k)。然后我执行了numpy（逆）快速傅立叶变换。

我已经尝试过1D和2D情况，下面仅显示1D情况。

import numpy as np
from numpy.fft import fft, ifft
import matplotlib.pyplot as plt

## The Gaussian autocorrelation function 
def c(x, V0, rho):
    return V0**2 * np.exp(-x**2/rho**2) 

x_min, x_max, interval_x = -10, 10, 10000
x = np.linspace(x_min, x_max, interval_x, endpoint=False)

V0 = 1
## the correlation length
rho = 1 

## (Uniformly) randomly generated array for k>0
phi1 = np.random.rand(int(interval_x)/2)
phi = np.concatenate((-1*phi1[::-1], phi1))
phase = np.exp(2j*np.pi*phi)

C = c(x, V0, rho) 
V = ifft(np.power(fft(C), 0.5)*phase)
plt.plot(x, V.real)
plt.plot(x, V.imag)
plt.show()

并且该图类似于如下所示： 。

然而，所产生的电势被证明是复杂的，并且虚部与实部具有相同的数量级，这是不期望的。我已经多次检查过数学，但是找不到任何问题。所以我在考虑它是否与实现问题有关，例如数据点是否足够密集以进行快速傅立叶变换等。

Answer 1

您对（更正确地说，DFT）如何运作有一些误解fft。首先请注意，DFT 假设序列的样本索引为0, 1, ..., N-1，其中N是样本数。相反，您生成一个与索引相对应的序列-10000, ..., 10000。其次，请注意，实序列的 DFT 将为与0和相对应的“频率”生成实数值N/2。你似乎也没有考虑到这一点。

我不会详细介绍，因为这超出了此 stackexchange 站点的范围。

只是为了进行完整性检查，下面的代码生成一个序列，该序列具有实值序列的 DFT (FFT) 所需的属性：

• 正负频率的共轭对称性，
• 对应于频率的实值元素0和N/2
• 假设序列对应于0索引N-1

正如你所看到的，ifft这个序列的 确实生成了一个实值序列

from scipy.fftpack import ifft

N = 32 # number of samples
n_range = np.arange(N) # indices over which the sequence is defined
n_range_positive = np.arange(int(N/2)+1) # the "positive frequencies" sample indices
n_range_negative = np.arange(int(N/2)+1, N) # the "negative frequencies" sample indices

# generate a complex-valued sequence with the properties expected for the DFT of a real-valued sequence
abs_FFT_positive = np.exp(-n_range_positive**2/100)
phase_FFT_positive =  np.r_[0, np.random.uniform(0, 2*np.pi, int(N/2)-1), 0] # note last frequency has zero phase
FFT_positive = abs_FFT_positive * np.exp(1j * phase_FFT_positive)
FFT_negative = np.conj(np.flip(FFT_positive[1:-1]))
FFT = np.r_[FFT_positive, FFT_negative] # this is the final FFT sequence

# compute the IFFT of the above sequence
IFFT = ifft(FFT)

#plot the results

plt.plot(np.abs(FFT), '-o', label = 'FFT sequence (abs. value)')
plt.plot(np.real(IFFT), '-s', label = 'IFFT (real part)')
plt.plot(np.imag(IFFT), '-x', label = 'IFFT (imag. part)')
plt.legend()