如何修复缩放鼠标例程？

Question

我正在尝试学习如何使用正交投影向鼠标缩放，到目前为止我已经得到了这个：

def dolly(self, wheel, direction, x, y, acceleration_enabled):
    v = vec4(*[float(v) for v in glGetIntegerv(GL_VIEWPORT)])
    w, h = v[2], v[3]
    f = self.update_zoom(direction, acceleration_enabled) # [0.1, 4]
    aspect = w/h
    x,y = x-w/2, y-h/2
    K1 = f*10
    K0 = K1*aspect

    self.left = K0*(-2*x/w-1)
    self.right = K0*(-2*x/w+1)
    self.bottom = K1*(2*y/h-1)
    self.top = K1*(2*y/h+1)

• x/y：鼠标屏幕坐标
• w/h：窗口宽度/高度
• f：向下/向上滚动时从 0.1 到 4 的系数
• 左/右/下/上：用于计算新正交投影的值

我得到的结果真的很奇怪，但我不知道我搞砸了公式的哪一部分。

你能找出我数学的哪一部分是错误的，或者只是发布一个我可以尝试的清晰的伪代码吗？只是为了记录，我已经在互联网上阅读并测试了很多版本，但还没有找到任何地方可以正确解释这个主题。

附言。您不需要发布与此主题相关的任何 SO 链接，因为我已经阅读了所有内容:)

Answer 1

我将基于以下一组假设以一般方式回答这个问题：

1. 您使用P（正交）投影矩阵描述您的眼睛空间视图体积到标准视图体积的实际映射[-1,1]^3OpenGL 将根据（另请参见假设 2）和V视图变换矩阵，即视图的位置和方向“相机”（如果有这样的东西，尤其是在正射投影中）并基本上建立一个眼睛空间，您的视野体积将相对于该空间定义。
2. 我将忽略齐次裁剪空间，因为您仅使用完全仿射正射投影，这意味着 NDC 坐标和裁剪空间将相同，并且不会对任何w坐标应用任何技巧。
3. 我假设眼空间和投影矩阵的默认 GL 约定，特别是眼空间原点是相机位置，相机观察方向是 -z
4. 视口正在完全填满窗口。
5. 视窗空间是默认OpenGL的约定，其中原点位于底部的左侧。
6. 鼠标坐标是在一些窗口特定坐标系，其中原点位于顶部左侧，鼠标是在整数像素坐标。
7. 我假设由和定义的视图体积P是对称的，并且在缩放操作后它也应该保持对称，因此，为了补偿任何移动，也必须调整视图矩阵。right = -lefttop = -bottomV

你想要得到的是一个缩放，使得鼠标光标下的对象点不会移动，因此成为缩放操作的中心。鼠标光标本身只是 2D 的，3D 空间中的整条直线将被映射到相同的像素位置。但是，在正射投影中，该线将与图像平面正交，因此我们无需过多考虑第三维。

所以，我们要的是规模与目前的情况P_old（由邻参数定义l_old，r_old，b_old，t_old，n_old和f_old）和V_old（由“照相机”的位置定义c_old和ortientationo_old通过缩放因子）s在鼠标位置(x,y) （从假设6的空间）。

我们可以直接看到几点：

• 投影的近平面和远平面应该不受操作的影响，所以n_new = n_old和f_new = f_old。
• 实际的相机方向（或注视方向）也应该不受影响： o_new = o_old
• 如果我们放大s，实际视图体积必须按 缩放1/s，因为当我们放大时，整个世界的一小部分在屏幕上比以前更小（并且看起来更大）。所以我们可以简单地缩放我们拥有的截锥体参数： l_new = l_old / s, r_new = r_old / s, b_new = b_old / s,t_new = t_old / s

如果 new 只替换P_old为P_new，我们得到缩放，但鼠标光标下的世界点会移动（除非鼠标正好在视图的中心）。所以我们必须通过修改相机位置来弥补这一点。

我们首先将鼠标坐标(x,y)放入 OpenGL 窗口空间（假设 5 和 6）：

• x_win = x + 0.5
• y_win = height - 0.5 - y

请注意，除了镜像 y 之外，我还将坐标移动了半个像素。那是因为在 OpenGL 窗口空间中，像素中心位于中间坐标，而我假设您的整数鼠标坐标将代表您单击的像素的中心（在视觉上不会有很大的不同，但仍然如此）

现在让我们进一步将坐标放入标准化设备空间（这里依赖于假设 4）：

• x_ndc = 2.0 * x_win / width - 1
• y_ndc = 2.0 * y_win / height - 1

根据假设 2，剪辑和 NDC 坐标将相同，我们可以将向量称为vNDC/空间鼠标坐标：v = (x_ndc, y_ndc, 0, 1)^T

我们现在可以声明我们的“鼠标下的点不能移动”条件：

inverse(V_old) * inverse(P_old) * v = inverse(V_new) * inverse(P_new) * v

但是让我们进入眼睛空间，让我们看看发生了什么：

• 让a = inverse(P_old) * v成为我们缩放之前鼠标光标下点的眼睛空间位置。
• 让b = inverse(P_new) * v成为我们缩放后鼠标光标下指针的眼睛空间位置。

由于我们假设了一个对称的视图体积，我们已经知道对于 x 和 y 坐标，b = (1/s) *a成立（假设 7。如果该假设不成立，您也需要进行实际计算b，这也不难）。

因此，我们可以设置一个 2D眼空间偏移向量d，它描述了我们的兴趣点是如何被比例移动的：

d = b - a = (1 / s) *a  - a = a (1/s - 1)

为了补偿这种移动，我们必须反向移动我们的相机，所以通过-d。

如果您像我在假设 1 中所做的那样将相机位置分开，您只需要相应地更新相机位置c。你只需要注意c世界空间位置，而d眼睛空间偏移的事实：

c_new = c_old - inverse(V_old) * (d_x, d_y, 0, 0)^T

并不是说如果您不将相机位置保留为单独的变量，而是直接保留视图矩阵，则可以简单地预先乘以平移： V_new = translate(-d_x, -d_y, 0) * V_old

更新

到目前为止我写的都是正确的，但我采用了一个捷径，在使用非无限精度数据类型时，这在数值上是一个非常糟糕的主意。如果放大很多，相机位置的误差累积得非常快。所以在@BPL 实现之后，这就是他得到的：

主要的问题似乎是，我直接计算偏移向量d在眼空间，不拿当前视图矩阵V_old（以及它的小误差考虑在内）。所以更稳定的方法是直接在世界空间中计算所有这些：

a     = inverse(P_old * V_old) * v
b     = inverse(P_new * V_old) * v
d     = b - a
c_new = c_old - d

（这样做使得假设 7 不再需要作为副产品，因此它直接适用于任意正交矩阵的一般情况）。

使用这种方法，缩放操作按预期工作：