f，g，h :: Kleisli（（->）e）ab` <=>`f >>>（g &&& h）=（f >>> g）&&&（f >>> h）`？

Question

编辑：p如果存在以下功能f，我们将调用纯箭头：p = arr f。

我试图更好地了解Haskell中的Arrows，我想弄清楚何时

f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h)其中f，g，h是箭头。

显然，通常情况并非如此。在此特定示例中，副作用在右侧重复：

GHCi> c = Kleisli $ \x -> ("AB", x + 1)
GHCi> fst . runKleisli (c >>> c &&& c) $ 1
"ABABAB"
GHCi> fst . runKleisli ((c >>> c) &&& (c >>> c)) $ 1
"ABABABAB"

显然，f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h)如果f是纯净的。

我在尝试GHCI这个语句f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b，并没有设法找到这样的价值观f，g和h那个f >>> (g &&& h) ? (f >>> g) &&& (f >>> h)。此声明确实适用于f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b，如果是这样，是否可以有效证明这一点：的影响Monad ((->) e)是从环境中读取数据。因此，的应用结果f就是该功能的帮助，g并将h从环境中读取该功能。无论在何处创建此函数，它都是一样的，因为每次都将其应用于相同的参数，因此从环境中读取的结果是相同的，因此总体结果也相同。

Answer 1

直观地

是的，该(->) emonad 是一个读取器 monad，我们执行两次读取或仅执行一次读取并不重要。运行f一次或两次并不重要，因为它总是会产生相同的结果，具有相同的效果（阅读）。

在我看来，你的推理直观上是正确的。

正式地

f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b本质上意味着f, g, h :: a -> (e -> b)，去除包装纸。

再次忽略包装，我们得到

for all (f :: a -> e -> b) and (g :: b -> e -> c)
f >>> g = (\xa xe -> g (f xa xe) xe)

for all (f :: a -> e -> b) and (g :: a -> e -> c)
f &&& g = (\xa xe -> (f xa xe, g xa xe))

因此：

f >>> (g &&& h)
= { def &&& }
f >>> (\xa xe -> (g xa xe, h xa xe))
= { def  >>> }
(\xa' xe' -> (\xa xe -> (g xa xe, h xa xe)) (f xa' xe') xe')
= { beta }
(\xa' xe' -> (g (f xa' xe') xe', h (f xa' xe') xe'))


(f >>> g) &&& (f >>> h)
= { def >>> }
(\xa xe -> g (f xa xe) xe) &&& (\xa xe -> h (f xa xe) xe)
= { def &&& }
(\xa' xe' -> ((\xa xe -> g (f xa xe) xe) xa' xe', (\xa xe -> h (f xa xe) xe) xa' xe'))
= { beta }
(\xa' xe' -> (g (f xa' xe') xe', h (f xa' xe') xe'))