我如何证明Monad实际上是Applicative和Functor？

Question

在Haskell中，class Monad声明为：

class   Applicative m   =>  Monad   m   where
return  ::  a   ->  m   a
(>>=)   ::  m   a   ->  (a  ->  m   b)  ->  m   b
return  =   pure

我怎样才能证明Monadis实际上Applicative是这样声明的？

class   Functor f   =>  Applicative f   where
pure    ::  a   ->  f   a
(<*>)   ::  f   (a  ->  b)  ->  f   a   ->  f   b

具体来说，我怎么能写pure并<*>在以下方面return和>>=？

我怎样才能证明Monadis实际上Functor是这样声明的？

class   Functor f   where
fmap    ::  (a  ->  b)  ->  f   a   ->  f   b

具体来说，我该如何fmap用return和写>>=？

Answer 1

这些都在文档中。

具体来说，我该如何写pure以及<*>就收益和而言>>=？

请参阅http://hackage.haskell.org/package/base-4.12.0.0/docs/Control-Monad.html#t:Monad，特别是以下部分：

此外，Monad操作和应用操作应与以下内容相关：

pure = return
(<*>) = ap

并注意，这ap是标准的Monad函数，早于Applicative被引入为该语言的标准部分，并被定义为ap m1 m2 = do { x1 <- m1; x2 <- m2; return (x1 x2) }

Specifically, how can I write fmap in terms of return and >>=?

该Control.Applicative文档说：

由于这些法律，的Functor实例f将满足

fmap f x = pure f <*> x

这当然，使用什么我上面引述的，可以用来实现fmap来讲return和>>=。

正如@duplode所指出的那样，Monads也有liftM，而Applicatives也有liftA，它们是（本质上，虽然没有按字面意义定义）fmap专门用于其特定类型类的同义词。