Bifunctor与Arrow方法

Question

Bifunctor和Arrow方法之间有些重叠：

class Bifunctor p where
  first :: (a -> a') -> p a b -> p a' b
  second :: (b -> b') -> p a b -> p a b'
  bimap :: (a -> a') -> (b -> b') -> p a b -> p a' b'

class Arrow (~~>) where
  ...
  first :: (a ~~> a') -> (a, b) ~~> (a', b)
  second :: (b ~~> b') -> (a, b) ~~> (a, b')
  (***) :: (a ~~> a') -> (b ~~> b') -> (a, b) ~~> (a', b')

这个Bifunctor班级的法律完全类似于Functor。

该Arrow级配备了一系列法律不同的法律和有关略带神秘的警告(***)：“请注意，这一般不是一个函子。” 出乎意料的是（对我而言），只有一部法律适用于(***)：

first f >>> arr (id *** g) = arr (id *** g) >>> first f

该Arrow (->)实例和Bifunctor (,)实例完全匹配，这，这样bimap @(,) = (***) @(->)。这有什么特殊意义吗？有有意义的假设吗

class Foo (~~>) p where
  biFoo :: (a ~~> a') -> (b ~~> b') -> p a b ~~> p a' b'

如果是这样，那是否承认功能依赖性？

Answer 1

Arrow是笛卡尔封闭类别或最小笛卡尔单曲面类别的（有点混蛋）的先驱。特别是，张量积为(,)和单位元素的单曲面类别()。

回想一下，单调类别的特征在于张量积为bifunctor，因此Arrow和之间存在联系Bifunctor。

***实际上，法律比您列出的要多，仅是图书馆选择用这些法律来制定法律first。这是该类的等效定义：

class (Category k, Category k') => EnhancedCategory k k' where
  arr :: k a b -> k' a b
  -- arr id ? id
  -- arr (f . g) = arr f . arr g
class (EnhancedCategory (->) a) => Arrow a where
  (***) :: a b c -> a b' c' -> a (b,b') (c,c')
  -- (f***id) . (g***id) ? (f.g)***id
  -- (id***f) . (id***g) ? id***(f.g)
  -- arr fst . (f***id) ? f . arr fst
  -- arr snd . (id***g) ? g . arr snd
  -- ¿ arr swap . (f***g) ? (g***f) . arr swap ?
  -- ((f***g)***h) . assoc ? assoc . (f***(g***h))
  diag :: a b (b,b)

first :: Arrow a => a b c -> a (b,d) (c,d)
first f = f***id
second :: Arrow a => a b c -> a (d,b) (d,c)
second g = id***g
(&&&) :: Arrow a => a b c -> a b d -> a b (c,d)
f&&&g = (f***g) . diag

顺便说一下，也可以去除arr用于提升纯函数，而是给超类只使用专用的方法fst，snd和assoc。我叫那个班Cartesian。这允许定义不包含任意Haskell函数的“箭头”类别。线性图就是一个重要的例子。