绘制归一化均匀混合物

Question

我需要在下面重现归一化密度 p(x)，但给出的代码不会生成归一化 PDF。

clc, clear
% Create three distribution objects with different parameters
pd1 = makedist('Uniform','lower',2,'upper',6);
pd2 = makedist('Uniform','lower',2,'upper',4);
pd3 = makedist('Uniform','lower',5,'upper',6);
% Compute the pdfs
x = -1:.01:9;
pdf1 = pdf(pd1,x); 
pdf2 = pdf(pd2,x); 
pdf3 = pdf(pd3,x); 
% Sum of uniforms
pdf = (pdf1 + pdf2 + pdf3);
% Plot the pdfs
figure;
stairs(x,pdf,'r','LineWidth',2);

如果我通过简单地按它们的总和缩放它们来计算归一化混合 PDF，与上面的原始图相比，我有不同的归一化概率。

pdf = pdf/sum(pdf);

Answer 1

混合物

甲混合物的概率为两个随机变量手段p使用分布1，并用概率1- p使用分配2。

根据您的图表，您似乎正在混合分布而不是添加（卷积）它们。精确的结果对混合概率非常重要。举个例子，我选择a = 0.25，b = 0.35和c = 1-a-b。

对于混合物，概率密度函数 (PDF)可用于分析：
pdfMix =@(x) a.*pdf(pd1,x) + b.*pdf(pd2,x) + c.*pdf(pd3,x)。

% MATLAB R2018b
pd1 = makedist('Uniform',2,6);
pd2 = makedist('Uniform',2,4);
pd3 = makedist('Uniform',5,6);
a = 0.25;
b = 0.35;
c = 1 - a - b;    % a + b + c = 1

pdfMix =@(x) a.*pdf(pd1,x) + b.*pdf(pd2,x) + c.*pdf(pd3,x);

Xrng = 0:.01:8;
plot(Xrng,pdfMix(Xrng))
xlabel('X')
ylabel('Probability Density Function')

由于混合的分布是统一的，您还可以使用stairs()命令： stairs(Xrng,pdfMix(Xrng)).

我们可以通过确保总面积为 1 来验证这是一个有效的 PDF。
integral(pdfMix,0,9)

答案 = 1.0000

卷积：添加随机变量

将随机变量加在一起会产生不同的结果。同样，这可以根据经验轻松完成。这是可能的分析。例如，对两个 Uniform(0,1) 分布进行卷积会产生一个 Triangular(0,1,2) 分布。随机变量的卷积只是我们将它们相加的一种奇特方式，如果您对分析结果感兴趣，有一种方法可以使用积分获得结果 PDF。

N = 80000;                  % Number of samples
X1 = random(pd1,N,1);       % Generate samples     
X2 = random(pd2,N,1);
X3 = random(pd3,N,1);

X = X1 + X2 + X3;           % Convolution      

请注意 x 轴 ( Xrng = 0:.01:16;)的比例变化。

为了获得这一点，我从每个分布中生成了 80k 个样本， random()然后将它们相加以获得所需卷积的 80k 个样本。请注意，当我使用时，histogram()我使用了该'Normalization', 'pdf'选项。

Xrng = 0:.01:16;
figure, hold on, box on
p(1) = plot(Xrng,pdf(pd1,Xrng),'DisplayName','X1 \sim U(2,6)')
p(2) = plot(Xrng,pdf(pd2,Xrng),'DisplayName','X2 \sim U(2,4)')
p(3) = plot(Xrng,pdf(pd3,Xrng),'DisplayName','X3 \sim U(5,6)')
h = histogram(X,'Normalization','pdf','DisplayName','X = X1 + X2 + X3')

% Cosmetics
legend('show','Location','northeast')
for k = 1:3
    p(k).LineWidth = 2.0;
end
title('X = X1 + X2 + X3 (50k samples)')
xlabel('X')
ylabel('Probability Density Function (PDF)')

您可以使用fitdist()和内核分发对象获得 PDF 的估计值，然后pdf()在生成的内核分发对象上调用该命令。

pd_kernel = fitdist(X,'Kernel')

figure, hold on, box on
h = histogram(X,'Normalization','pdf','DisplayName','X = X1 + X2 + X3')
pk = plot(Xrng,pdf(pd_kernel,Xrng),'b-')           % Notice use of pdf command
legend('Empirical','Kernel Distribution','Location','northwest')

如果这样做，您会注意到生成的内核是无界的，但您可以更正此问题，因为您知道使用truncate(). 您也可以使用该ksdensity()函数，尽管由于您可以直接访问所有函数，概率分布对象方法可能对用户更友好。您应该知道内核是一个近似值（您可以在内核图中清楚地看到）。在这种情况下，对 3 个均匀分布进行卷积的集成并不算太糟糕，因此如果需要 PDF，分析地找到 PDF 可能是首选。否则，经验方法（尤其是生成方法）可能就足够了，尽管这取决于您的应用程序。

pdt_kernel = truncate(pd_kernel,9,16)

从混合和卷积生成样本是一个不同的问题（但可以管理）。