/ b == ka / kb上是否没有浮点错误？

Question

这是我的简单代码。

int num1, num2;
cin >> num1 >> num2;

int num3, num4;
cin >> num3 >> num4;

double result1 = static_cast<double>(num1) / num2;
double result2 = static_cast<double>(num3) / num4;

cout.setf(ios::boolalpha);
cout << (result1 == result2) << endl;

输入：

1 3
2 6

输出：

true

所以我想知道

static_cast<double>(a) / b == static_cast<double>(k * a) / (k * b)

永远是真的吗？

如果不，

int num1, num2;
cin >> num1 >> num2;

int num3, num4;
cin >> num3 >> num4;

int gcd1 = gcd(num1, num2);
int gcd2 = gcd(num3, num4);

double result1 = static_cast<double>(num1 / gcd1) / (num2 / gcd1);
double result2 = static_cast<double>(num3 / gcd2) / (num4 / gcd2);

cout.setf(ios::boolalpha);
cout << (result1 == result2) << endl;

总是打印true输入a，b，k * a，k * b以NUM1，NUM2，NUM3，num4？

Answer 1

假设将IEEE-754二进制浮点算术与舍入到最近的关系到偶数规则一起使用，则除以下情况外，比较是正确的。

鉴于int num1，num2，num3，和num4在那里num3= ķ • num1和num4= ķ • num2对于一些实数ķ，存在以下几种情况static_cast<double>(num1) / num2 == static_cast<double>(num3) / num4可以评估为假：

• num3和num4都为零，要么因为num1和为零，要么num2因为k为零。然后static_cast<double>(num3) / num4计算为NaN，NaN绝不等于任何东西，甚至不等于相同的NaN。
• num2为零，但num1不是，k为负。然后static_cast<double>(num1) / num2计算为+？要么 ？？根据num1是正数还是负数，而static_cast<double>(num3) / num4相反则为？或+？分别，因此比较结果为false。
• 当int除符号位以外的位数宽于的有效位数时，double商因转换为时的舍入不相同而可能会有所不同double。例如，int可以为64位，而有效位数double为53位。假设num1是2 ⁵³ +1，num2是1，k是3，所以num32 ⁵⁴ +2 ⁵³ + 2 + 1 num4是3。然后，由于舍入，static_cast<double>(num1)产生2 ⁵³，static_cast<double>(num3)产生2 ⁵⁴ +2 ⁵³ +4，并且除法得到2 ⁵³和2 ⁵³ +2，它们不相等。
• 如果k • num1或k • num2溢出int类型，则比较结果可能为false。

除上述情况外，到的转换double是精确的，并且商是数学定义的（没有零除数）并且相等。在这些情况下，四舍五入规则要求两个除法产生相同的结果，因此比较结果为true。