了解产品和副产品图

Question

我正在尝试了解Product和Coproduct对应于以下图片：

产品：

副产品：

据我了解，ProductHaskell中的类型例如：

data Pair = P Int Double

和Sum类型是：

data Pair = I Int | D Double 

如何理解Sum与Product类型有关的图像？

图片来自http://blog.higher-order.com/blog/2014/03/19/monoid-morphisms-products-coproducts/。

Answer 1

据我所知，这些图表背后的想法是：

• 类型A，B和Z
• 功能f和g指示的类型（在第一个图中，f :: Z -> A和g :: Z -> B，在第二个图中，箭头指向“相反的方向”，所以f :: A -> Z和g :: B -> Z）。

现在我将专注于第一个图表，这样我就不必在略有变化的情况下重复所有内容。

无论如何，考虑到上述情况，想法是有一个类型M与函数fst :: M -> A，snd :: M -> B，以及h :: Z -> M数学家所说的那样，图表“通勤”。这只是意味着，给定图中的任何两点，如果您以任何方式从一个箭头到另一个，结果函数是相同的。也就是说，f是相同的 fst . h，g是相同的snd . h

很容易看出，无论是什么Z，对类型(A, B)，连同通常的 Haskell 函数fstand snd，都满足这一点 - 再加上适当的 选择h，即：

h z = (f z, g z)

这微不足道地满足了图通勤所需的两个身份。

这是图表的基本解释。但是您可能对Z所有这些中的角色感到有些困惑。之所以出现这种情况，是因为实际陈述的内容要强得多。正是给定A, B, fand g，有一个M与函数fstand一起snd，你可以为任何类型构造这样的图Z（这意味着也提供一个函数h :: Z -> M）。此外，只有一个函数h满足所需的属性。

很明显，一旦您使用它并理解了各种要求，那么 pair(A, B)和与它同构的各种其他类型（这基本上意味着MyPair A B您定义的地方data MyPair a b = MyPair a b）是唯一满足这一点的东西。并且还有其他类型M也可以使用，但是会给出各种不同的hs - 例如。采取M为三(A, B, Int)，用fst和snd提取（“伸出”在数学术语）的第一和第二部件，然后h z = (f z, g z, x)为任何这样的功能x :: Int你关心到名称。

自从我学习数学，特别是范畴论以来，已经太久了，无法证明这对(A, B)是唯一满足我们正在谈论的“普遍性质”的类型——但请放心，它确实是，而且你真的为了能够在 Haskell 中使用 product 和 sum 类型进行编程，不需要理解（或真正理解其中的任何一个）。

第二个图或多或少相同，但所有的箭头都颠倒了。在这种情况下，“副产物”或“总和”M的A并B证明是Either a b（或东西isomoprhic到它），以及h :: M -> Z将其定义为：

h (Left a) = f a
h (Right b) = g b

Answer 2

产品（Tuple在Haskell中）是具有两个投影的对象。这些都是功能突出的产品到他们的个人因素fst和snd。

相反，副产品（Either在Haskell中）是具有两次注入的对象。这些是将各个求和项注入lefts和中的函数rights。

注意，产品和副产品都需要满足通用属性。我推荐Bartosz Milewski 对该主题的介绍以及他的演讲。